Het nut van kolomsgewijs rekenen

Ceciel Borghouts

Geplaatst op 2 februari 2021

Bij de overgang van het hoofdrekenen naar het cijferen wordt vaak als tussenfase het kolomsgewijs rekenen aangeboden. In dit artikel leg ik uit waarom deze tussenfase wordt aangeboden en wat de verschillen zijn tussen kolomsgewijs rekenen en cijferen. De leerlijnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen worden toegelicht, waardoor de plaats en het doel van kolomsgewijs rekenen duidelijk wordt.

In de groepen 3, 4 en 5 vallen alle bewerkingen die de kinderen maken (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) onder het kopje ‘hoofdrekenen’. De kinderen mogen bij het rekenen t/m 100 en 1000 en bij grote tafels (4 × 67) wel een uitrekenschrift gebruiken om een getallenlijn of tussenantwoord te noteren. Vanaf groep 6 komt er naast het hoofdrekenen ook cijferend rekenen bij. Het gaat daarbij om sommen met grotere getallen, waarbij je niet makkelijk vlot uit je hoofd kunt rekenen of met een tussenantwoord op papier.

Cijferen

Cijferen is een verkorte procedure. Zeer efficiënt, maar erg abstract. Heel fijn als je het kunt en goed begrijpt, want het gaat lekker vlot.

Wanneer je de cijferprocedures echter niet goed begrijpt, zijn ze foutgevoelig.

Cijferprocedures doen dan een groot beroep op het geheugen. Wanneer je ze niet begrijpt, moet je onthouden wat je precies moet doen. Dat is bij elke cijferbewerking weer anders. Haal je de bewerkingen door elkaar, dan gaat het mis. Dit betekent heel erg veel oefenen en hier dus veel onderwijstijd in steken. Onderwijstijd die mogelijk beter aan andere, zinvollere rekenonderdelen besteed kan worden. En het betekent vaak ook: steeds weer de bovenste van het rijtje voordoen, weer even vertellen hoe het ook alweer was.De vraag is of alles wel goed blijft hangen wanneer een kind dat de cijferprocedures niet begrijpt lange tijd niet oefent. Vaak is veel, zo niet alles wat niet is begrepen weggezakt na bijvoorbeeld de zomervakantie.

Van kolomsgewijs rekenen naar cijferen

Cijferen is niet verplicht voor kinderen die werken op niveau 1F.

Kolomsgewijs rekenen is een fase tussen hoofdrekenen en cijferen. Voor goede rekenaars duurt de fase van kolomsgewijs rekenen maar kort.

Het is een tussenfase. Zij gaan heel snel over naar het cijferen.
Kinderen die op of onder niveau 1F werken zullen langer behoefte hebben aan kolomsgewijs rekenen. Sommigen van hen zullen, wanneer het kolomsgewijs rekenen heel goed en vlot gaat, de overstap kunnen maken naar het cijferen.

Wat is kolomsgewijs rekenen?

Kolomsgewijs rekenen is een tussenfase tussen hoofdrekenen en cijferen. Hierbij wordt gewerkt volgens een vast patroon: splitsend rekenen van links naar rechts of van rechts naar links. De deeluitkomsten worden onder elkaar genoteerd en hoofdrekenend samengevoegd.

Verschil tussen cijferen en kolomsgewijs rekenen

De directe overgang van het hoofdrekenen naar het cijferen is niet erg herkenbaar voor kinderen. Bij het cijferen is de waarde van de cijfers in de getallen niet meer zichtbaar. Dit is meteen ook het grote verschil tussen kolomsgewijs rekenen en cijferen. Bij kolomsgewijs rekenen worden de getallen in hun waarde gelaten. Je weet daardoor precies wat je aan het doen bent. Alleen de notatiewijze is wat uitgebreider. Het is van belang om niet te lang in deze notatie te blijven hangen. Bij het cijferen werk je met cijfers in plaats van getallen. Het is daardoor abstracter. Bij kolomsgewijs rekenen wordt niet ingewisseld. Bij cijferen wel. Bij de som: 285 + 172 = zou je bij cijferen bij de tientallen zeggen: 8 + 7 = 15, 5 opschrijven en 1 onthouden: we wisselen 15 tientjes in voor 1 honderdje en 5 tientjes. Bij kolomsgewijs zeg je 80 + 70 = 150 of 8 tientjes + 7 tientjes, samen 15 tientjes, 150 euro.

Optellen en aftrekken

Optellen en aftrekken is een lange leerlijn. In groep 3 leren de kinderen de sommen t/m 10 memoriseren en de sommen tussen 10 en 20 automatiseren. Halverwege groep 4 moeten de sommen t/m 20 met overschrijding van het tiental geautomatiseerd zijn. Eind groep 4 moeten kinderen alle sommen t/m 100 vlot kunnen uitrekenen met de basisstrategie rijgen. Het is mooi wanneer de kinderen een paar variastrategieën beheersen, maar de basisstrategie moet iedereen beheersen. In groep 5 gaat het verder met het rekenen t/m 1000. Er komt naast het rijgen een tweede basisstrategie aan de orde: splitsen, bij sommen zonder overschrijding van het tiental.

Bij sommen met overschrijding ga je rijgen (sommen als 340 + 270 en 340 – 270).
Dit hebben de kinderen dus allemaal gehad voordat in groep 6 de getallen groter worden en ze leren cijferen. Het gaat nu om sommen als 478 + 256 en 523 – 246. Omdat cijferen zo abstract is, bieden we eerst het veel minder abstracte, kolomsgewijze rekenen aan. Bij het splitsend rekenen uit groep 5 en het kolomsgewijs rekenen ontstaan dezelfde deeluitkomsten, ze worden alleen verschillend genoteerd.

beeld 1

Van belang is om het kolomsgewijs rekenen altijd aan te bieden in een geldcontext.

Bijvoorbeeld: Eric koopt een bureau voor € 285 en een bureaustoel voor € 172. Hoeveel moet hij betalen? Je speelt de context een keer uit met geld en koppelt het uitspelen meteen aan de notatie.
Vervolgens spelen de kinderen zelf ook een aantal keer een geldcontext uit. Het is van belang om dit alle kinderen een paar keer te laten doen. De notatie start uitgebreid, maar kan soms al na een les worden afgebouwd, afhankelijk van het niveau van het kind. Het denken sluit aan bij het splitsend rekenen van groep 5. Daar hadden ze sommen als: 340 + 220, 300 + 200 en 40 + 20. Je neemt eerst de honderdjes bij elkaar en dan de tientjes.
Nu schrijf je het alleen onder elkaar op in plaats van naast elkaar.
Er is vaak discussie over: moeten we niet eerst de eenheden en dan de tientallen en dan de honderdtallen noteren? Bij het cijferen beginnen we immers achteraan? Het is natuurlijk geen probleem wanneer je dat doet. Dus de onderstaande notatie is ook prima.

beeld 2

Het allerbelangrijkste is dat kinderen begrijpen wat ze doen, dat ze de notatie begrijpen. Je moet twee bedragen bij elkaar optellen: honderdjes, tientjes en euro’s. De kinderen moeten begrijpen dat het niet uitmaakt waar je mee begint. Denkend vanuit groep 5 is het het meest logisch dat je met de honderdjes begint (zie beeld 1). Denkend aan het cijferen wil je weer met de eenheden beginnen (zie beeld 2). Het belangrijkste is dat de kinderen begrijpen dat het niet uitmaakt. Het is onnodig om in deze fase afspraken te maken.
Kolomsgewijs aftrekken gaat op dezelfde manier. Ook daar is een geldcontext nodig.

Sven heeft €438,-. Hij koopt een skateboard van €225,- Hoeveel geld houdt Sven over?

Speel de geldcontext uit en koppel het uitspelen weer aan de notatie. Omdat de vraag is hoeveel geld Sven overhoudt, is het helder dat bij het uitspelen het geld dat nog op tafel / in je hand ligt bij elkaar opgeteld moet worden. Laat ook nu de kinderen in tweetallen een aantal geldcontexten uitspelen, totdat ze goed begrijpen wat ze doen. Verkort dan de notatie. Pijnpunt bij aftrekken is wanneer er sprake is van overschrijding. Goede uitleg met een geldcontext doet wonderen. Laat daarna de kinderen een paar keer een geldcontext uitspelen. Let op: er wordt niet ingewisseld.

Selma heeft €735,- gespaard. Zij koopt een fiets van €452,-. Hoeveel geld houdt Selma over?

Speel de situatie uit.
Ik ben Selma. Ik heb 735 euro. Ik leg het op tafel: 7 honderdjes, 3 tientjes en 5 euro. Wiet, doe jij de kassa? Dan kom ik bij jou de fiets afrekenen. Ik heb 7 honderdjes. Ik moet 4 honderdjes betalen. Nog 3 over, 300 euro. Ik schrijf het op: 700 − 400 = 300. Ik heb 3 tientjes, ik moet er 5 betalen. Ik kom er 2 tekort. Ik geef die 3 alvast, die 2 krijg je straks, die moeten er nog af: -20. Ik schrijf het weer op: 30 − 50 = -20. Ik heb 5 euro, ik moet er 2 betalen. Nog 3 euro over. Ik schrijf het op: 5 − 2 = 3.
Nu kijk ik hoeveel ik over heb: 3 honderdjes en 3 euro. Maar er moet nog 20 euro af. Dus ik heb 283 euro over.

Als het kolomsgewijs rekenen vlot gaat en begrepen wordt, dan kan de overgang naar het cijferen worden gemaakt. Bij goede rekenaars is dit soms al na een week. Bij andere kinderen kan het kolomsgewijs rekenen het eindstation zijn. Durf hierin te differentiëren.

Veelgemaakte fout

Neem de som: 3 × 254. Kinderen doen keurig eerst 3 × 4 = 12, 1 onthouden. Dan doen ze bij de tweede stap 3 × 6. Bij optellen mocht je immers die 1 en die 5 wel bij elkaar optellen…

Vermenigvuldigen

In groep 5 hebben de kinderen geleerd sommen als 4 × 67 uit te rekenen met de strategie splitsen. Sommen als 67 × 4 rekenen ze uit door eerst om te keren (commutatieve eigenschap) en vervolgens te rekenen met de strategie splitsen.

In groep 6 krijgen we sommen als 4 × 267. Eigenlijk is er niet zoveel nieuw: ook nu rekenen we met splitsen: 4 × 200 + 4 × 60 + 4 x 7, maar we noteren het onder elkaar in plaats van naast elkaar. Dat heet dan kolomsgewijs vermenigvuldigen. Meestal levert dat niet zoveel problemen op. Ook nu kun je het uitgebreid noteren of korter.

Opnieuw geldt: vanuit groep 5 is het het meest logisch dat je begint met de honderdtallen. Maar het is ook prima wanneer je eerst de eenheden noteert. Het wordt pas een probleem als je niet begrijpt dat dit niet uitmaakt. Of wanneer je überhaupt de notatie niet begrijpt. Het is van belang ook dit soort sommen aan te bieden in een geldcontext, en dit tegelijk met de notatie uit te spelen. Daarna spelen de kinderen zelf weer een paar keer een aantal geldcontexten uit. Neem daarbij niet al te grote getallen.

Het gaat in deze fase om het begrijpen van de notatie en de procedure/strategie.

Het uitspelen met geld kan al snel worden afgebouwd. Ook de uitgebreide notatie kan snel worden verkort. Kinderen op F-niveau hebben het wel nodig om enige tijd op deze manier te rekenen, voordat ze de overstap maken naar het cijferen. Bij kolomsgewijs rekenen weet je precies wat je doet. Bij het cijferend vermenigvuldigen is dat veel minder het geval. Wanneer kinderen de procedure niet goed begrijpen, kun je vreemde fouten tegenkomen.

Ook bij het delen is het belangrijk om de doorgaande lijn te kennen. In groep 5 leren kinderen deelsommen als 72 : 3 en 102 : 3 uit te rekenen met de strategie splitsen. De standaardvraag bij delen (vanaf het begin, en dat verandert niet meer) is: hoe vaak kan de deler (in dit geval 3) eraf, hoe vaak past 3 erin?
Bij sommen als 24 : 3 weet je het meteen. Je kent de tafels, dus weet je het antwoord. Bij sommen als 25 : 3 en 23 : 3 zoek je ook in de tafel van 3, maar heb je een rest. Dan komen sommen als 42 : 3. De vraag is of 3 er meer of minder dan 10x afkan. 3 kan er meer dan 10x af: we gaan rekenen met de strategie splitsen:

Dan worden de getallen groter, 72 : 3 en 102 : 3. De kinderen zoeken op hun kladje naar de tientafel van 3 en maken de splitsing. Dit soort sommen gaat dus altijd in 2 stappen. Ook als er rest is (104 : 3).

In groep 6 wordt dit herhaald. Er komt niets nieuws bij, alleen de getallen worden iets groter. Er komen nu ook sommen als 364 : 7 en 817 : 9.
De kinderen blijven delen met de strategie splitsen. Ze denken: hoe vaak kan de deler eraf, hoe vaak past hij erin? Ze mogen een kladblaadje gebruiken voor het uitrekenen van de splitsing (tientallen van de deler).
Dan gaan we naar groep 7 en worden de getallen zo groot dat we kolomsgewijs gaan delen. Het gaat nu om sommen als 4508 : 14. Er verandert weer niets in het denken, alleen in de notatie. Net als bij het vermenigvuldigen.

Ook nu weer is de vraag: hoe vaak kan 14 eraf ? Van begin af aan is het van belang dat de kinderen maximaal 3 stappen maken, omdat elke aftrekking weer veel werk is en een fout kan opleveren. De kinderen zoeken naar de juiste stap (hoe vaak kan het honderdvoud van 14 eraf ? En idem voor het tienvoud?) met behulp van een tabel.

Ook dit moet weer gekoppeld worden aan een context. Dat is niet meer letterlijk uit te spelen. Maak wel helder wat je doet, wat je waar noteert. De notatie is vaak het probleem.
Deze notatie sluit heel goed aan bij het delen met de strategie splitsen uit groep 5 en 6. Wel is het van belang dat er maximaal wordt verkort vanaf het begin. Het kladwerk/ uitzoeken van de stappen doen de kinderen dus in de tabel. Voor de kinderen die een heel hoog abstractieniveau aankunnen is de overgang naar de zeer abstracte staartdeling zo gemaakt. Maar ook daarbij is het van belang dat ze deze procedure begrijpen. Onbegrepen procedures doen een groot beroep op het geheugen en zijn zeer foutgevoelig.

Dit artikel is eerder verschenen in Praxis bulletin.

Heb je vragen over dit thema? Stel ze in de onderwijs community binnen de Wij-leren.nl Academie!