Algemeen
Nakijken leerlingenwerk Hogere denkvaardigheden Leerinhouden Methode kiezen Kind is mťťr dan getal
Ouders
Ouderbetrokkenheid VVE Digitaal oefenen taal rekenen vo
Rekenen
Beter leren rekenen po Beter rekenonderwijs Clusteren rekenonderwijs Citotoets rekenen groep 1 2 Cognitieve voorstellingen wiskunde Computerspelletjes Differentiatie voorbereiding Differentiatie rekenles mbo Digitaal assessment Dyscalculie kenmerken Hersengedrag rekenonderwijs po Leren klokkijken Leereffecten computerspel kleuters Leerlijn rekenen Leerlijnen de baas Verdieping reken wiskundeonderwijs po Ontwikkelingspaden Opbrengstgericht werken en rekenproblemen Referentieniveau 1F Prentenboeken voorlezen Interactieve wiskundelessen Rekenachterstand po Rekenen automatiseren Beeldende opgaven Rekenachterstand wegwerken Taal in rekenen StrategieŽn leerlingen Voorkomen van rekenproblemen Rekenproces in de rekenles Getalbegrip werkgeheugen Schatten en rekenen Singapore rekenen Rekentaalkaart Tafels leren Instructievormen sbo Rekenonderwijs breuken Evaluatie groep 3 po Vertaalcirkel 1 Vertaalcirkel 2 Vertaalcirkel 3 De vertaalcirkel hulpmiddel Vertaalcirkel kleuters Tips zwakke rekenaars Diagnosticerend onderwijzen bij rekenen
Taal
Algoritmische benadering spelling Geletterdheid adolescente risicoleerlingen Begeleid hardop lezen Schrijfvaardigheid maatschappijvakken Zelfcontrole talen Woordenschat differentiatie Taallijn peuters kleuters Interactief taalonderwijs Taal bij het jonge kind NT2 bij migrantenkinderen OGO bovenbouw Meertalige contexten Schooltaal woordenschat po Taalontwikkeling NT2-stimuleren taalontwikkeling Taalgericht onderwijs Goed taal- en leesonderwijs Rijk taalaanbod Taalachterstand Taalles als taallab Taalonderwijs BBL Taal en omgeving Tweetaligheid Woordenschat uitbreiden Woordenschat en ICT Woordenschatlessen Tips woordenschat
Lezen
Effectief leesonderwijs Begrijpend lezen Leesdorst lessen - 1 Leesdorst lessen - 2 Boekenmaatjes voorlezen Denkend lezen Goede schoolteksten Leerstijlen Digitaal voorleesprogramma DIVO Effecten digitaal leermiddel Aanpak begrijpend lezen Leesonderwijs ZML Leesonderwijs ZML 1 Interactief voorlezen Vmbo leerlingen Slechthorende dove leerlingen Letters leren Effectief leren spellen Lezen en spellen Tips motivatie lezen Begrijpend lezen po Begrijpend leesresultaten Pictoverhalen lezen Woordenschat leesbegrip Leuke schoolteksten Leesbegrip zaakvakken po Begrijpend luisteren en lezen Leesvaardigheid zaakvakken Leesprestaties groep 6 po 2011 Vloeiend lezen
Lezen - dyslexie
Begeleiding dyslexie Gave van dyslexie Dyslexie behandeling Dyslexie en depressie Dyslexie kenmerken Krachtig anders leren Lettertype Dyslexie Ontwikkelingsdyslexie Dyslexieverklaring terecht? Tijdig signaleren Dyslexie tips Eindexamen en dyslexie Interventies dyslexie
Samenwerken
Veranderaanpak leerKRACHT 2013 2014
Schrijven
Academische synthesistaken Schrijfvaardigheid onderbouw VMBO HAVO VWO Verbetering schrijven po
Spelling
Spellingvaardigheid De speller Spelling instructie Spelling methode Expliciete instructie Opbrengstgericht werken bij spelling Leren spellen Spelling toetsen Spellingtraining Spellen en stellen
Burgerschap
Burgerschapsonderwijs VO Invloed scholen burgerschap leerlingen Socialisatie leerlingen Gescheiden onderwijs Burgerschapscompetenties Video games vo
Gym
Effect beweging Samenwerkend leren bij gym Springen en rennen
Beroepsonderwijs
Computergames wiskunde Computergames wiskunde reflectie GeÔntegreerd taal/vakonderwijs
Techniek
Techniek en vakmanschap Fascinerende ontdekkingen Empirische cyclus (1) Techniek: Leren door doen Empirische cyclus (2) Techniek talent Techniek attitude Vliegwielen begrijpend lezen po
VO en MBO
Kenmerken MBO-studenten
Kunst
Assessment kunsteducatie Componeren Cultuurprofiel Tien effecten van kunst Kunstonderwijs Muziekeducatie Praten over kunst Tekenles CultuurcoŲrdinator
Engels
Stimulering leesvaardigheid vo
Exacte vakken
Programmeren Exacte vakken 2008 Exacte vakken 2007 Exacte vakken 2011 Internationaal basiSS 2015 Interesse voor bŤta

 

Het rekenproces in de rekenles

Korstiaan Karels

Onderwijsadviseur bij Kerstenonderwijscentrum

 

  Geplaatst op 1 juni 2014

Karels, K. (2014). Het rekenproces in de rekenles.
Geraadpleegd op 21-01-2017,
van http://wij-leren.nl/rekenproblemen-ERWD.php

Dit is tweede deel in een drieluik over het Protocol Ernstige Reken Wiskunde Problemen en Dyscalculie (2011). De artikelen laten zich lezen als een samenvatting. Lees hier deel 1 en hier deel 3. 

Werken met het protocol Ernstige RekenWiskunde problemen en Dyscalculie (2)

Een kaars kost € 2. Je koopt 3 kaarsen. Hoeveel moet je betalen? De meeste kinderen hebben gelukkig € 6,- als antwoord. Vier leerlingen hebben het fout. Hun antwoorden zijn achtereenvolgens 5, 1, 8 en 9 euro. De leerkracht heeft de toets geanalyseerd en besluit dat deze kinderen nog eens extra de tafels moeten oefenen. Voorbeeld ontleend aan de training ERWD (Jansen en Borghouts, 2012).

Dat lijkt op het eerste gezicht logisch, want deze opgave staat bij de toets in de categorie vermenigvuldigen. Dat is immers de bewerking die gedaan moet worden. Het is echter te kort door de bocht om te concluderen dat leerlingen die deze opgave fout hebben, niet goed kunnen vermenigvuldigen. Belangrijk is om scherp in beeld te hebben waar het fout gaat in het rekenproces. Een tweetal modellen helpt de leerkracht om hier zicht op te krijgen: het drieslagmodel en het handelingsmodel.

Functionele gecijferdheid.

Het ultieme doel van rekenwiskunde onderwijs is functionele gecijferdheid: Leerlingen kunnen buiten school en later als volwassenen hun rekenvaardigheid optimaal gebruiken in dagelijkse situaties. Het rekenen in het dagelijks leven is altijd ingebed in een authentieke functionele situatie. Zo’n situatie noemen we de context. Iedereen die met een context geconfronteerd wordt doorloopt altijd drie vaste stappen:

• Plannen; het in kaart brengen van de situatie.
• Uitvoeren; iets doen, uitrekenen bijvoorbeeld.
• Reflecteren; nagaan of het resultaat van onze actie klopt en past bij de situatie.

We noemen dit het probleemoplossend handelen. Het eigenlijke rekenen is daar slechts een onderdeel van, maar wel essentieel voor het resultaat. Het proces van het probleemoplossend handelen is in het protocol ERWD gevisualiseerd in het drieslagmodel (zie afbeelding uit besproken boek).

Hoeveel moet je betalen?

Terug naar het voorbeeld uit de inleiding: De leerling met antwoord € 5,- heeft gedaan  3 + 2 = 5. De leerling met antwoord €1,- heeft gedaan 3 – 2 = 1. Deze kinderen hebben een som (bewerking) opgeschreven en uitgevoerd. De oplossing van hun som klopte ook nog, maar het probleem speelt zich af op de beide schuine zijden van het model: plannen en reflecteren. Het lukt deze leerlingen niet om de context te vertalen naar een juiste bewerking. Ook is het lastig voor hen om na te gaan of het antwoord klopt. Wat betekenen die 5 en die 1? De kinderen hebben niet het besef dat zij kaarsen en euro’s bij elkaar hebben opgeteld.  

De andere leerlingen hebben de som als volgt uitgerekend: 2 + 2 + 2 = 8 en 3 x 2 = 9. Zij hebben wel een juiste bewerking gekozen, maar in de uitvoering een fout gemaakt. De leerling die de euro’s drie keer heeft opgeteld heeft nog onvoldoende begrip van het concept vermenigvuldigen. Wanneer zij hun antwoord gereflecteerd hadden op de context hadden zij waarschijnlijk geconcludeerd dat het een redelijk groot bedrag is voor drie kaarsen van €2, - . Alleen voor de leerling met het antwoord 9 is het zinvol om de tafels verder te oefen. De andere kinderen moeten ondersteuning krijgen op het gebied van plannen en reflecteren; het betekenis verlenen aan de context. 

Stapsgewijs

Het drieslagmodel biedt niet direct de oplossing voor rekenproblemen, maar helpt de leerkracht wel om zicht te krijgen op de plaats in het proces waar het mis gaat. Bovendien is het mogelijk om het proces te vertalen in denkstappen die de leerling helpen bij het benaderen van een probleem. Die denkstappen kunnen er als volgt uit zien:

Stap 1: Wat is het probleem? Wat ga je doen om het probleem op te lossen? Deze vragen leiden tot het plannen van een actie of bewerking.

Stap 2: Wat ga je doen? Wat ga je uitrekenen? Wat doe je eerst? De uitwerking van de gekozen bewerking(en) leiden tot het vinden van een oplossing.

Stap 3: Wat heb je gedaan? Wat betekent deze oplossing binnen de context waarmee je begon? Heb je de bewerking correct uitgevoerd?

De leerling leert aan de hand van deze vragen zijn rekenwiskundig redeneren en handelen te ordenen, te organiseren en systematisch te werken.

Betekenis voor de praktijk

Nog altijd overheerst in het onderwijs de opvatting dat leerlingen het technisch rekenen moeten beheersen om contextproblemen te kunnen oplossen. In het protocol ERWD wordt op grond van nieuwe inzichten uitgegaan van het tegenovergestelde. Bij leesproblemen is het zo dat juist het aanbieden van betekenisvolle contexten de (technische) leesvaardigheid zich verder ontwikkelt. Zo ook bij rekenen: voor het ontwikkelen van functionele gecijferdheid is het rekenen aan de hand van betekenisvolle contexten essentieel. Praten over contexten en daarop aansluitend berekeningen uitvoeren leiden tot inzichtelijke procedures. Rekenwiskunde problemen kunnen optreden op elk van de zijden van de driehoek. Maar al te vaak wordt aan een leerling meer oefenstof voorgelegd van een bepaalde technische bewerking, terwijl het probleem zich afspeelt op het gebied van betekenisverlening. Ook het handelingsmodel draagt bij aan het verwerven van begrip en inzicht.

Het handelingsmodel

Het handelingsmodel is een schematische weergave van de rekenwiskundige ontwikkeling zoals die geldt voor alle leerlingen. Het model toont verschillende niveaus van handelen en moet gelezen worden van onder naar boven. De vier niveaus van handelen vormen elk een ingang om in te spelen op de onderwijsbehoeften van de leerling. Dit is met name van toepassing bij de ontwikkeling van begripsvorming. De leraar start zo laag mogelijk op een niveau waarvan hij zeker weet dat de leerling het aankan. Om de leerling te stimuleren op een hoger handelingsniveau te werken koppelt hij de uitwerking van de opdracht tegelijkertijd aan het daarop aansluitende hogere niveau. Aan de hand van een opgave geven we een illustratie van hoe het handelingsmodel werkt in de praktijk.   Handelingsmodel rekenkundige ontwikkeling

Informeel handelen (doen)

Het doel van de les is het delen met rest met getallen boven de honderd. Als voorbeeld nemen we de som 128 : 12. De leerkracht heeft uit het magazijn een flink aantal potlodendoosjes meegenomen. De potloden zijn uit de doosjes gehaald en liggen in een lage bak. Op het bureau liggen een onbekend aantal lege doosjes. De leerkracht vertelt dat er 128 potloden in de bak zitten en dat er 12 potloden in een doosje passen. De vraag is hoeveel doosjes er gevuld worden. Een leerling wordt naar voren gehaald die de potloden in de doosjes gaat doen.

Voorstellen – concreet (afbeelden)

Dat duurt best even, dus de leerkracht stelt ondertussen de vraag of het kan helpen om iets te tekenen. Op het bord komt een afbeelding van de concrete situatie: een aantal doosjes en daarnaast een hoop losse potloden. Bij de potloden wordt het getal 128 gezet. In een of meer doosjes worden 12 potloden ingetekend. Ook hier wordt het aantal erbij gezet. Bij alles wat de leerkracht tekent of laat tekenen wordt duidelijk in woorden uitgedrukt wat het betekend. Voortdurend wordt de koppeling gelegd naar het vorige handelingsniveau. 

Voorstellen – abstract (denkmodel)

De stap van de afbeelding naar een abstracte voorstelling is snel gemaakt. Een groot vak met daarin het getal 128 en een aantal kleine vakken met daarin het getal 12. De link naar de werkelijkheidssituatie blijft nog steeds beschikbaar en de vraag is helder: Hoeveel van die kleine vakjes (doosjes) worden gevuld met 12 potloden? Ook nu weer zorgt de leerkracht door verbale ondersteuning voor de verbinding tussen het abstracte voorstellingsniveau en de concrete handeling. Inmiddels heeft de leerling die de doosjes potloden aan het inpakken is het antwoord gevonden: Er zijn 10 doosjes en 8 losse potloden; of 11 doosjes, maar in het 11e doosje ontbreken 4 potloden. 

Formeel handelen (formele bewerking)

Op het formele niveau wordt aandacht geschonken aan de notatie. Hoe schrijven we dit op?: 128 : 12 = 10 rest 8. Het is uiteraard ondoenlijk om ook alle volgende sommen op deze concrete manier uit te werken. Zeker als bijvoorbeeld 168:14 gevraagd wordt. Maar de conceptuele rekenhandeling is zichtbaar en beschikbaar in de potloden en de doosjes. En bij elke volgende som kan de leerkracht de brug slaan tussen de verschillende handelingsniveaus ook al wordt het niet uitgevoerd. ‘Stel dat we 168 potloden hebben en dat er 14 in een doosje passen…’ En opnieuw via concreet tekenen en een abstract model naar de formele bewerking. 

Cruciale schakel

De leerkracht is de cruciale schakel in het proces van leren rekenen. Hij is degene die met de leerlingen de relatie tussen de handelingsniveaus bespreekt en de opdrachten laat uitvoeren op verschillende handelingsniveaus. Doordat de leerkracht voortdurend de leerlingen uitdaagt linken te leggen tussen de niveaus, ervaren de leerlingen dat sommen maken altijd gerelateerd is aan iets dat in de werkelijkheid kan voorkomen. Als de leerlingen de niveaus van het handelingsmodel doorlopen, ontwikkelen zij stapsgewijs rekenwiskundige concepten en procedures. Zij verlenen betekenis aan dagelijkse situaties die om rekenvaardigheid vragen. Bij het leren uit een rekenboek wordt verondersteld dat leerlingen als vanzelf de stap maken van werkelijkheid (niveau 1) al of niet via niveau 2 en 3 naar formele sommen (niveau 4). Dit is echter niet zo vanzelfsprekend. Door interactie en communicatie, het verwoorden en laten verwoorden stuurt de leraar het mentale proces aan en begeleidt hij de leerling van het ene naar het andere niveau.

Te hoog niveau

Formeel rekenen speelt zich af op het vierde niveau. Rekenproblemen ontstaan als de leerkracht de leerlingen (te) snel op de hogere niveaus laat werken en (te) weinig aandacht besteedt aan de relaties tussen de verschillende niveaus. Op het hoogste niveau wordt het formele rekenen en de rekenwiskundige procedures geoefend. Er wordt veel aandacht gegeven aan automatiseren van de basisbewerkingen, maar los van de context. Voor het begrijpen van formele procedures is voortdurende koppeling aan de onderlinge niveaus nodig. Doordat de leerkracht voortdurend de koppeling legt tussen formeel leren op school en informeel leren in buitenschoolse situaties, krijgt het leren betekenis vanuit het dagelijks leven van de leerlingen.

Resultaat of proces

We zijn gewend in het onderwijs de leerlingen te beoordelen op het resultaat. Leerlingen met lage resultaten krijgen extra begeleiding. Bij het stellen van doelen voor de begeleiding is het belangrijk dat onderzocht is wat de feitelijke oorzaak is van de problemen. Het drieslagmodel biedt een helder denkkader om zicht te krijgen op de oorzaak van het probleem. Het handelingsmodel reikt concrete stappen aan om het rekenproces van alle kinderen – maar zeker de rekenzwakke kinderen, mentaal te ondersteunen. Beide modellen voorkomen een eenzijdige focus op de resultaten en richten de aandacht op de oorzaak van het probleem.  

In het protocol ERWD gaat het steeds om de juiste afstemming tussen de rekenwiskunde ontwikkeling van de leerling en het onderwijs van de leerkracht. Door middel van diagnosticerend onderwijzen wordt binnen de school de juiste samenhang van deze twee bewerkstelligd. In de volgende bijdrage wordt ingegaan op het diagnosticerend onderwijzen en wat dat betekent voor de schoolorganisatie en leerlingen met ernstige rekenwiskunde problemen of dyscalculie.  

Dit artikel is eerder verschenen in Criterium

Literatuur:
Groenestijn, Mieke van, Borghouts, Ceciel en Jansen, Christien, Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie -BAO-SBO-SO (2011), Van Gorkum
zie ook:

Karels, K. (2014). Het rekenproces in de rekenles.
Geraadpleegd op 21-01-2017,
van http://wij-leren.nl/rekenproblemen-ERWD.php

Gerelateerd

Rekenen in het voortgezet onderwijs
Rekenen in het voortgezet onderwijs
Over het schoolbreed verankeren van sterk rekenonderwijs
Medilex Onderwijs 
Dyscalculie kenmerken
Dyscalculie: kenmerken - tips aanpak rekenproblemen
Arja Kerpel
Voorkomen van rekenproblemen
Voorkomen van rekenproblemen - protocol dyscalculie
Korstiaan Karels
Diagnosticerend onderwijzen bij rekenen
Diagnosticerend onderwijzen bij rekenen
Korstiaan Karels
Singapore rekenen
Singapore Rekenen - Rekenwonders
Korstiaan Karels
Toetsen en hulp(middelen)
Toetsen met of zonder hulp(middelen)?
Teije de Vos
Opbrengstgericht werken en rekenproblemen
Herkenbare rekenproblemen en persoonlijke doelen
Dolf Janson
Leren klokkijken
Klokkijken is complexer dan je zou denken
Dolf Janson
Schatten en rekenen
Een schatter kan niet zonder redeneren
Dolf Janson
Leerlijn rekenen
Leerlijn rekenen - Wie kan delen, kan vermenigvuldigen
Martie de Pater
Tafels leren
Leren vermenigvuldigen: meer dan tafels leren!
Martie de Pater
Rekenen automatiseren
Het effect van gericht automatiseren van rekenvaardigheden
Marjolein Zwik
Leerlijnen de baas
De leerlijnen de baas
Martie de Pater
Functionele toetsvragen
Bronnen en contexten in toetsvragen niet functioneel
Gerdineke van Silfhout
Beter rekenonderwijs
Op weg naar beter rekenonderwijs
Dolf Janson
Vertaalcirkel 3
De Vertaalcirkel 3 Werken aan begrip en inzicht bij zwakke rekenaars
Ceciel Borghouts
Vertaalcirkel 1
De Vertaalcirkel 1 werken aan begrip en inzicht bij zwakke rekenaars
Ceciel Borghouts
Vertaalcirkel 2
De Vertaalcirkel 2 Werken aan begrip en inzicht bij zwakke rekenaars
Ceciel Borghouts
De vertaalcirkel hulpmiddel
De Vertaalcirkel als diagnostisch hulpmiddel
Ceciel Borghouts
Tips zwakke rekenaars
Durf te kiezen in doelen: 19 tips voor zwakke rekenaars
Nina Boswinkel

Clusteren rekenonderwijs
Als je het rekenonderwijs rond tijd, geld en meten clustert, behaal je dan betere resultaten?
Nakijken en feedback
Heeft het nakijken van schriften zin?
StrategieŽn voor zelfregulering
Hoe kunnen leerlingen de regie over hun eigen leerproces voeren?
Animaties rekenen po
Gebruik van animaties bij rekenen in het basisonderwijs
Computergames wiskunde
Gebruik van computergames bij wiskunde in het beroepsonderwijs
Verbeteren rekenvaardigheid mbo
Verbeteren van rekenvaardigheid mbo-leerlingen met een serious game
Computergames wiskunde reflectie
Gebruik van computergames bij wiskunde in beroepsonderwijs: reflectie
Interactieve wiskundelessen
Professionalisering binnen leergemeenschappen voor talige ondersteuning in interactieve reken-wiskundelessen
Leereffecten computerspel kleuters
Leereffecten computerspel voor rekenen bij kleuters
Wiskundige denktactiviteit
Wiskundige denkactiviteit in wiskunde op havo en vwo
Digitaal oefenen taal rekenen vo
Digitaal oefenen en ouderbetrokkenheid bij taal- en rekenprestaties in het voortgezet onderwijs
Differentiatie rekenles mbo
Differentiatie in de rekenles in het mbo
Instructievormen sbo
Toegesneden instructievormen bij rekenonderwijs op (speciaal) basisonderwijs
Schrijf in voor de nieuwsbrief
Schrijf in voor de nieuwsbrief
Schrijf in voor de nieuwsbrief
Schrijf in voor de nieuwsbrief
[extra-breed-algemeen-kolom2]

NOT 2017

Reviews ontwikkelingsmateriaal

Rekenproces in de rekenles



Inschrijven nieuwsbrief



Volg wij-leren.nl

Volg ons op LinkedIn Volg ons op twitter Volg ons op facebook

Mis geen bijdragen.