Wat de wetenschap ons leert over rekenvaardigheid

Samenvatting

Onderwijs van hoge kwaliteit in rekenen-wiskunde verbetert niet alleen de levensloop van individuen, maar stimuleert ook innovatie en vooruitgang in de samenleving als geheel. Maar wat houdt reken-wiskundeonderwijs van hoge kwaliteit nu precies in? In dit artikel dragen wij bij aan die discussie door ons te richten op rekenvaardigheid. Het debat over de beste manier om rekenen aan te leren is lang en fel. Moet de nadruk liggen op memorisatietechnieken (zoals flitskaartjes en oefeningen op tijd) of moeten we juist denkstrategieën bevorderen via spel en authentieke probleemoplossing? Aanbevelingen voor een ‘gebalanceerde’ aanpak zijn vaak te oppervlakkig en missen de diepgang en specificiteit die nodig zijn om leraren effectief te begeleiden of het publieke begrip te vergroten.

Wij baseren ons op de ontwikkelingsgerichte cognitieve wetenschap, in het bijzonder Sfards' proces–object-dualiteit en Karmiloff-Smiths continuüm van impliciete–expliciete kennis. Op basis daarvan presenteren we memorisatie en denkstrategieën niet als tegengestelde benaderingen, maar als complementaire krachten. Dit kader stelt ons in staat om specifieke aanbevelingen te doen voor het bevorderen van rekenvaardigheid, gebaseerd op inzichten uit de leerwetenschap.

Een oppervlakkige balans tussen automatiseren en begrijpen is niet genoeg. Diepgang is cruciaal.

We definiëren rekenvaardigheid, onderbouwen het belang ervan, beschrijven de cognitieve structuren en processen die eraan ten grondslag liggen en geven onderbouwd advies om deze vaardigheid te bevorderen. Onze aanbevelingen omvatten onder andere het monitoren van vroege getalvaardigheden, het geven van expliciete instructie om belangrijke strategieën en concepten aan te leren, het inzetten van goed gestructureerde retrieval practice (oefenen met ophalen uit het geheugen), het pas introduceren van tijdsdruk nadat leerlingen aantoonbaar accuraat zijn en het vrijmaken van voldoende tijd voor discussie en cognitieve reflectie. Door theorie, empirisch bewijs en praktische adviezen te combineren, geven we leraren en beleidsmakers de kennis in handen om ervoor te zorgen dat alle kinderen de kans krijgen om rekenvaardigheid te verwerven.

Rekenvaardigheid groeit wanneer instructie, oefening en reflectie elkaar versterken.

Trefwoorden

• Wiskundig leren
• Rekenen-wiskunde
• Geheugen
• Cognitieve ontwikkeling
• Onderwijs

Dit artikel is een vertaling van het Engelstalige artikel 'What the Science of Learning Teaches Us About Arithmetic Fluency' (2025) van Nicole M. McNeil, Nancy C. Jordan, Alexandria A. Viegut en Daniel Ansari.

Introductie

Rekenkundige vaardigheid is een krachtig instrument voor het nemen van dagelijkse beslissingen, het behalen van academisch en professioneel succes en het verbeteren van de wereld. Gezien het brede belang van rekenen is het niet verwonderlijk dat er al lang discussie is over de beste manier om het aan te leren. Die discussie draait meestal om twee hoofdbenaderingen: memorisatie en het bevorderen van denkstrategieën.

Memorisatie houdt in dat er expliciet, herhaald wordt geoefend om de koppeling tussen rekencombinaties (zoals 9 + 5, 8 × 7) en hun oplossingen (zoals 14, 56) te versterken. Denkstrategieën daarentegen richten zich op het verkennen van getalrelaties in authentieke contexten, het gebruik van meerdere representaties en referentiepunten om flexibiliteit te bevorderen (bijvoorbeeld het gebruiken van 10 als referentie voor mentale berekeningen) en het actief omgaan met getallen om rekencombinaties te internaliseren.

Tussen memoriseren en denkstrategieën woedt al jaren een onderwijskundig debat. Maar zijn ze echt elkaars tegenpolen?

Al decennialang spreekt de National Council of the Teaching of Mathematics (NCTM) zich uit tegen zowel het memoriseren van rekenfeiten als het gebruik van getimede oefenvormen, een standpunt dat zij in hun position paper uit 2023 opnieuw bevestigen: “Basisfeiten moeten worden aangeleerd met behulp van getalrelaties en redeneerstrategieën, niet via memorisatie” (NCTM, 2023a, paragraaf 6). De NCTM stelt dat memorisatie en tijdsdruk gebrekkig zijn omdat ze het conceptuele begrip niet verdiepen en mogelijk zelfs schadelijk zijn voor leerlingen, doordat ze het betekenis geven aan rekenen ondermijnen en mogelijk angst of trauma veroorzaken (NCTM, 1989; zie ook Boaler, 2015; Gojak, 2012; Mahoney & Knowles, 2010; Polya, 1945). Boaler (2015) onderschrijft deze visie en stelt: “Het memoriseren van rekenfeiten via herhaling van tafels, oefenen en getimede toetsing is onnodig en schadelijk” (p. 1).

Een gerelateerde vraag betreft het gebruik van digitale hulpmiddelen zoals rekenmachines en computers: is het, gezien de brede beschikbaarheid van deze middelen, nog nodig om tijd te besteden aan het oefenen van hoofdrekenen? (Boyle & Farreras, 2015; Education Week, 2023; Ellington, 2003; Papert, 1980; Reys & Arbaugh, 2001; Wiebe, 1987). Sommigen zeggen van niet. Het argument is dan dat als het uiteindelijke doel probleemoplossend vermogen en conceptueel begrip is, leerlingen het rekenwerk beter kunnen overlaten aan rekenmachines. Die “kunnen in enkele seconden de berekeningen uitvoeren waarvoor leerlingen vroeger jaren aan instructie en oefening nodig hadden” (Reys & Arbaugh, 2001, p. 90), waardoor cognitieve ruimte vrijkomt zodat leerlingen zich kunnen richten op welke berekeningen nodig zijn, in plaats van hoe ze deze moeten uitvoeren (p. 91; vgl. Risko & Gilbert, 2016; Schwartz, 1996).

Als rekenmachines het werk toch overnemen, waarom zouden we kinderen nog leren hoofdrekenen?

Echter, onderzoek laat zien dat cognitieve uitbesteding het directe prestatieniveau weliswaar kan verhogen, maar schadelijk kan zijn voor langdurige kennisopbouw (Grinschgl et al., 2021; Pyke et al., 2008; Rittle-Johnson & Kmicikewycz, 2008). Daarom zijn veel experts het erover eens dat “rekenmachines het ontwikkelen van vaardigheid in efficiënte en nauwkeurige mentale en schriftelijke berekeningen niet kunnen vervangen” (NCTM, 2015, paragraaf 1). Ze benadrukken ook dat het accuraat kunnen oproepen of berekenen van optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen noodzakelijk is (maar niet voldoende) voor succes in wiskunde en daarbuiten (Ball et al., 2005; Fuchs et al., 2021; Gersten et al., 2009; National Mathematics Advisory Panel [NMP], 2008; National Research Council [NRC], 2001).

Hoewel het correct zou zijn om te stellen dat leerlingen blootgesteld moeten worden aan activiteiten die zowel memorisatie als betekenisvol redeneren bevorderen (zoals velen vóór ons al deden; zie bijv. NMP, 2008), is deze aanbeveling te simplistisch en onvoldoende specifiek of toetsbaar om daadwerkelijk richting te geven aan leraren of het publieke debat. Het debat afdoen als ‘nutteloos’ of concluderen dat “beide nodig zijn” is niet productief zonder uitleg waarom en zonder evidence-based handvatten om rekenvaardigheid te ontwikkelen.

Het is waar dat cognitief psychologen het in grote lijnen eens zijn over het belang van retrieval practice (het actief ophalen van rekenfeiten uit het geheugen) als middel om rekenvaardigheid te bevorderen. Tegelijkertijd moeten we erkennen dat het publieke debat over deze kwestie springlevend is. Prominente stemmen blijven het beleid en de praktijk beïnvloeden: sommige stemmen keren zich tegen memorisatie en getimede oefenvormen (Boaler, 2015; Gojak, 2012; NCTM, 2023a), terwijl anderen juist pleiten voor een ‘back-to-basics’-benadering met expliciete oefening en memorisatie, inclusief getimede retrieval practice (Advocates for the Science of Math, 2021; Garelick & Wilson, 2022).

Zeggen dat ‘beide nodig zijn’ klinkt verstandig, maar helpt leraren pas echt als we ook uitleggen hoe en waarom.

Het doel van dit artikel is om door dit rumoer heen te snijden en betrouwbare onderzoeksbevindingen te delen over de ontwikkeling van rekenvaardigheid.

Het begrijpen van hoe rekenvaardigheid zich ontwikkelt draait om vier kernvragen:

1. Wat is rekenvaardigheid?
2. Welke cognitieve structuren en processen liggen eraan ten grondslag?
3. Is het investeren van tijd in het ontwikkelen van rekenvaardigheid de moeite waard?
4. Hoe kunnen we kinderen helpen om rekenvaardigheid te bereiken?

Deze vragen vormen de structuur van dit artikel en worden gebruikt als sectiekoppen. In de eerste twee secties definiëren we rekenvaardigheid en bespreken we de onderliggende cognitieve structuren en processen. Daarmee leggen we de basis met algemeen erkende inzichten uit belangrijke geheugenmodellen, die nodig zijn voor de latere secties over het waarom en hoe van rekenvaardigheid. In het derde deel vatten we kort de literatuur samen om te onderbouwen waarom rekenvaardigheid cruciaal is. De kern van dit artikel ligt in het vierde deel: het hoe—concrete methoden die de ontwikkeling van rekenvaardigheid ondersteunen, inclusief de vroege fundamenten die idealiter worden gelegd voordat gestart wordt met expliciete instructie gericht op het onthouden van rekenfeiten.

Wie rekenvaardigheid wil begrijpen, moet weten wat het is, waarom het telt en hoe je het ontwikkelt.

Wat is rekenvaardigheid?

Rekenvaardigheid betekent dat je snel, goed en bijna automatisch sommen uit je hoofd kunt uitrekenen met de getallen van 0 tot en met 10 en dat je ook andersom kunt bedenken welke getallen bij elkaar horen om een uitkomst te krijgen. Het gaat om mentale berekeningen met een reactietijd van slechts een seconde of twee. In het onderwijs wordt gerefereerd aan deze vaardigheid als “kennis van rekenfeiten” (Ashcraft & Christy, 1995; Bye et al., 2022; Campbell, 1987; De Visscher & Noël, 2014) of als “getalcombinaties” (Baroody & Ginsburg, 2013; Fuchs, 2005; Hanich et al., 2001). De term “combinaties” legt meer nadruk op de rekenkundige bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen), terwijl de term “feiten” juist de nadruk legt op de uitkomsten: som, verschil, product en quotiënt. Deze perspectieven (proces en product) zijn onderling verweven aspecten van wiskundig begrip en vertegenwoordigen “twee kanten van dezelfde medaille” (Sfard, 1991). Wiskundige ontwikkeling houdt een verschuiving in van focus op processen naar producten en uiteindelijk het zien van de processen als objecten. Bij een hoger niveau van wiskundige ontwikkeling gaan kinderen getalcombinaties (zoals 8 × 7) waarnemen als betekenisvolle gehelen die opgehaald, gecombineerd, vergeleken en gemanipuleerd kunnen worden om complexere problemen op te lossen (vgl. Sfard, 1991).

Wiskundig denken ontwikkelt zich van het uitvoeren van bewerkingen naar het begrijpen van hun structuur.

Rekenvaardigheid wordt meestal geassocieerd met het onmiddellijk en direct ophalen van feiten uit het geheugen (bijv. weten dat 8 × 7 = 56), maar het omvat ook het oproepen van regels (bijv. 8 × 7 heeft hetzelfde product als 7 × 8) en het efficiënt toepassen van mentale strategieën om verwante feiten af te leiden (bijv. 7 × 8 = 7 × 7 + 7, dus 49 + 7 = 56; Baroody, 2006). In tegenstelling tot NCTM (2023a) beschouwen wij “het onthouden van feiten” als een centraal onderdeel van rekenvaardigheid. Tegelijkertijd zijn we het ermee eens dat het daarnaast ook gaat om “het efficiënt, flexibel en accuraat kunnen toepassen van procedures; het kunnen overdragen van procedures naar andere problemen en contexten; het kunnen opbouwen of aanpassen van procedures op basis van andere procedures; en het herkennen van welke strategie of procedure het meest passend is” (paragraaf 2).

De meeste experts zijn het erover eens dat rekenvaardigheid zowel nauwkeurigheid als automatisering vereist, maar er is discussie over de vraag of er ook een betekeniscomponent bij hoort. Deze component omvat flexibiliteit in het ontleden en hersamenstellen van feiten, het benutten van relaties tussen feiten en het herkennen van meerdere strategieën om tot oplossingen te komen. In de literatuur wordt deze betekeniscomponent aangeduid met bredere termen zoals “gecijferdheid” (Parsons & Bynner, 2005), “getalbegrip” (Gersten & Chard, 1999; Jordan et al., 2022), “rijp getalbegrip” (Kirkland et al., 2022; Whitacre et al., 2020), “relationeel denken” (Jacobs et al., 2007), “semantische elaboratie” (Dehaene & Cohen, 1995), “adaptieve getalkennis” (McMullen et al., 2017) en “conceptuele kennis van rekenen” (Gilmore et al., 2015).

Automatiseren en begrijpen zijn geen tegenpolen, maar bouwstenen van volwaardige rekenvaardigheid.

Cruciaal is dat deze betekeniscomponent zowel een voorwaarde is, als een gevolg van rekenvaardigheid (vgl. Rittle-Johnson, 2019). Wanneer jonge kinderen (tussen 2 en 7 jaar) worden ondersteund in het opbouwen van begrip van de betekenis van getallen, relaties en bewerkingen, vormt dit een stevig fundament dat hen helpt om de beperkingen van het werkgeheugen te overwinnen en betekenisvolle gehelen te herkennen die het onthouden van symbolische rekenfeiten vergemakkelijken. Tegelijkertijd is deze component ook een resultaat van het ontwikkelen van rekenvaardigheid, omdat de automatisering die door oefening ontstaat cognitieve ruimte vrijmaakt voor diepere reflectie en conceptvorming. Deze wederzijdse versterking vormt een tweezijdig ontwikkelingsproces langs de impliciet–expliciet-kennisdimensie, zoals beschreven door Karmiloff-Smith (1992). Dat is een rode draad door het huidige artikel.

Hoewel sommige studies aantonen dat snel en accuraat oproepen van rekenfeiten mogelijk is zonder diepgaand conceptueel begrip (Delazer & Benke, 1997), stellen wij dat “vaardigheid mét begrip” het centrale doel is van wiskundeonderwijs. Het kan dus niet los worden gezien van de ontwikkeling van rekenvaardigheid. Wanneer wij spreken over “rekenvaardigheid,” bedoelen wij een begrip dat uiteindelijk “vaardigheid mét begrip” omvat.

Rekenvaardigheid is niet alleen het snel ophalen van sommen, maar het betekenisvol begrijpen, verbinden en toepassen van getalrelaties. Vaardigheid mét begrip vormt het hart van goed rekenonderwijs.

Welke cognitieve structuren en processen liggen ten grondslag aan rekenvaardigheid?

De cognitieve structuur die het meest relevant is voor rekenvaardigheid, is het netwerk van het langetermijngeheugen. Elk belangrijk model van rekenvaardigheid stelt dat rekenfeiten met gehele getallen (van 0 +/× 0 tot 9 +/× 9) in dit netwerk zijn opgeslagen. Dat netwerk bestaat uit opgeslagen declaratieve feiten (bijv. Ashcraft, 1992; Campbell, 1995; Siegler & Jenkins, 1989) of geautomatiseerde procedures (bijv. Fayol & Thevenot, 2012; Uittenhove et al., 2016). De prestatie bij het ophalen van rekencombinaties en -feiten wordt beïnvloed door factoren zoals de hoeveelheid oefening (Anderson, 1992; Baroody, 1994) en de organisatie en sterkte van de verbindingen binnen dit geheugennetwerk (Ashcraft, 1995; Didino et al., 2015).

Automatisering van rekenvaardigheid is geen trucje, maar het resultaat van gestructureerde opslag in het langetermijngeheugen.

Hoewel we de interne representatie van een rekenfeit of de cognitieve stappen naar een som of product niet direct kunnen waarnemen, gebruiken psychologen modellen, slimme experimentele ontwerpen en geavanceerde methoden om onderbouwde hypotheses te doen over de cognitieve structuren en processen die betrokken zijn bij rekenvaardigheid. De inzichten die daaruit voortkomen leveren twee praktische lessen op: 1) investeren in het ontwikkelen van rekenvaardigheid is de moeite waard en 2) sommige instructiemethoden zijn effectiever dan andere.

Om die lessen goed te kunnen begrijpen, geeft deze sectie achtergrondinformatie over kernverschijnselen in geheugen- en cognitieve ontwikkeling. Deze informatie is essentieel om te begrijpen hoe rekenvaardigheid als katalysator werkt voor hogere wiskundige probleemoplossing en waarom bepaalde instructiebenaderingen meer effect hebben dan andere. Wij gaan uit van de aanname dat inzicht in de leer- en geheugenmechanismen ons helpt om onderwijspraktijken kritisch te beoordelen.

Een beleidsimplicatie van dit artikel is dan ook dat lerarenopleidingen (inclusief programma’s voor het jonge kind) gebaat zouden zijn bij een grotere inbedding van ontwikkelingsgerichte cognitieve wetenschap (zie Tabel 1; vgl. Clements et al., 2011; Deans For Impact, 2015; Laski et al., 2013; Parks & Wager, 2015). Dit zou het vermogen van leraren versterken om het eindeloze debat over lesmethoden en onderwijshypes beter te doorgronden en op waarde te schatten.

Weten hoe kinderen leren, is essentieel om te begrijpen wat werkt in het rekenonderwijs.

Tabel 1. Beleidsaanbevelingen

Om de ontwikkeling van rekenvaardigheid (of van vloeiendheid in welke complexe vaardigheid dan ook) te begrijpen, moeten we rekening houden met twee waarheden over het menselijk cognitief systeem.

Ten eerste is ons denken van nature beperkt, zowel in de hoeveelheid informatie die we kunnen verwerken als in de snelheid waarmee dat gebeurt (bijv. Marois & Ivanoff, 2005; Schneider & Shiffrin, 1977). Ten tweede is ons denken flexibel en in staat zich aan te passen aan voortdurend veranderende doelen en taakvereisten (bijv. Braem & Egner, 2018; Siegler, 2006; Smith, 2005). Volgens informatieverwerkingstheorieën wordt cognitieve ontwikkeling juist gedreven door deze wisselwerking tussen beperkte capaciteit en adaptieve flexibiliteit (bijv. Palmer & Kimchi, 1986; Simon, 1979).

Deze theorieën verklaren de beperkte, maar aanpasbare aard van cognitie door zich te richten op structuren (die bepalen binnen welke grenzen het denken plaatsvindt) en processen (die de flexibiliteit van aanpassing mogelijk maken). Voor rekenvaardigheid zijn twee belangrijke cognitieve structuren van belang: het werkgeheugen en het langetermijngeheugen, naast enkele kernprocessen: chunking (het groeperen van informatie), automatisering en metacognitieve reflectie. Sommige modellen maken een onderscheid tussen kortetermijn- en werkgeheugen (bijv. Baddeley, 2003; Cowan, 2008), maar voor dit artikel ligt de nadruk op werkgeheugen, vanwege de rol in zowel het vasthouden als het manipuleren van informatie.

Chunking, automatisering en reflectie zijn de motoren achter het vloeiend leren rekenen.

Het werkgeheugen is de plek waar actief denken plaatsvindt (bijv. Baddeley, 1983). Het is de plek waar we informatie begrijpen die we hebben gezien of gehoord, waar we nieuwe strategieën bedenken en nieuwe kennis construeren (bijv. Raghubar et al., 2010). Vaak wordt het omschreven als een “ruimte” of “plek” waarin informatie tijdelijk wordt vastgehouden en bewerkt, maar nauwkeuriger is het om het te zien als een dynamisch activatiepatroon van de kennis waarmee we op dat moment actief bezig zijn (Cowan, 2008; Ericsson & Kintsch, 1995). Het werkgeheugen combineert inkomende informatie uit de omgeving met opgeslagen kennis uit het langetermijngeheugen.

Bijvoorbeeld: wanneer we een schriftelijk wiskundeprobleem zien, wordt de visuele informatie over de cijfers en symbolen gecombineerd met de representaties in het langetermijngeheugen over hun betekenis, zodat we het probleem als geheel kunnen begrijpen (DeStefano & LeFevre, 2004; Raghubar et al., 2010). De uitdaging is echter dat het werkgeheugen beperkt is in zowel capaciteit als verwerkingssnelheid. We kunnen dus niet alle relevante informatie uit het langetermijngeheugen tegelijk activeren en manipuleren.

De kracht van het werkgeheugen ligt in integratie, zijn zwakte in capaciteit.

Overweeg het volgende rekenprobleem: “Bereken de som: 7 + 5 + 6 + 3 + 5 + 4 = —.”

Om dit op te lossen, moet het werkgeheugen eerst de visuele informatie coderen (de getallen, plustekens en het gelijkheidsteken). Vervolgens activeert deze gecodeerde informatie delen van het langetermijngeheugen om te begrijpen wat er gevraagd wordt en om een strategie te plannen. Kijk eens naar het aantal elementen: drie woorden, zes getallen, vijf plustekens en een gelijkheidsteken. Dat is veel informatie. Zelfs als het probleem zichtbaar blijft tijdens het oplossen, kan het werkgeheugen maar ongeveer vier tot zeven items tegelijk actief vasthouden. Lange tijd dacht men dat dit bereik 7 ± 2 items was (Miller, 1956), maar recentere inzichten wijzen op een limiet dichter bij vier (Cowan, 2001). Hoe dan ook: dit probleem bevat meer elementen dan het werkgeheugen afzonderlijk aankan.

Daarom is de samenwerking tussen werkgeheugen en langetermijngeheugen cruciaal bij het oplossen van problemen. Het langetermijngeheugen stelt ons in staat om informatie vast te houden en op te halen die we gedurende ons leven hebben verzameld. En omdat dit geheugen in principe onbeperkt is, helpt het ons de beperkingen van het werkgeheugen te overstijgen (bijv. Chi, 1976). Werkgeheugen is dus geen op zichzelf staand systeem, maar functioneert in voortdurende interactie met het langetermijngeheugen, waarbij het opgeslagen kennis activeert en combineert met nieuwe input om gedachten en begrip te vormen.

Een schijnbaar simpele optelsom overschrijdt al snel de grenzen van ons werkgeheugen.

Wanneer een leerling naar 7 + 5 + 6 + 3 + 5 + 4 = — kijkt, kan een leerling met rekenvaardigheid patronen herkennen en zijn/haar begrip van wiskundige principes zoals commutativiteit en associativiteit gebruiken om de som te herstructureren tot betekenisvolle chunks zoals (7 + 3), (6 + 4) en (5 + 5). Binnen enkele seconden is het probleem omgevormd van zes aparte optellingen naar drie groepjes van 10. Het antwoord 30 wordt ontdekt met aanzienlijk minder mentale inspanning. Een probleem zoals 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = — kan zelfs nog sneller opgelost worden, ondanks het gelijke aantal elementen, omdat het herkend kan worden als 2 × 6.

Vaardigheid betekent ook flexibiliteit: het kunnen kiezen van een passende strategie voor de situatie. In het eerste probleem bijvoorbeeld kan men van links naar rechts optellen, of in het tweede probleem in tweetallen tellen, zonder het werkgeheugen te overbelasten. Zonder deze vaardigheid rest er geen keuze: een leerling moet dan cijfer voor cijfer optellen. Dat is een veel trager en geheugenzwaarder proces.

Vaardigheid is niet alleen snelheid, maar ook strategische flexibiliteit.

Ebbinghaus (1885/1964) probeerde ooit de onderdelen van geheugen van elkaar te scheiden, maar ontdekte uiteindelijk een cruciale waarheid: het werkgeheugen kan niet los gezien worden van het langetermijngeheugen. En dat is gunstig: onze opgebouwde kennis in het langetermijngeheugen stelt het werkgeheugen in staat om in chunks te werken (grotere gehelen) in plaats van met losse elementen (Ericsson et al., 1980). Wanneer we kleinere eenheden combineren tot betekenisvolle gehelen die als objecten kunnen worden gemanipuleerd, kunnen we met veel meer informatie tegelijk werken.

Een klassiek voorbeeld van chunking: het is veel makkelijker om vier woorden te onthouden (hek, omheining, tapijt, oppervlakte) dan dezelfde 24 letters in willekeurige volgorde (e, r, t, a, f, p, c ...).

De bekende studie van Chase en Simon (1973) over schaakexpertise illustreert dit ook. Ze ontdekten dat ervaren schakers, met veel kennis van schaakstellingen, in één oogopslag meer stukken op het bord konden onthouden dan beginners. Maar alleen als de stukken op realistische manieren waren opgesteld. De experts gebruikten hun langetermijnkennis van schaakpatronen om de stukken te groeperen in betekenisvolle configuraties. De kwaliteit van deze langetermijnrepresentaties (hun sterkte en organisatie) is cruciaal om ze effectief te gebruiken in actief denken.

Evenzo, zo stellen wij, is de kwaliteit van de numerieke representaties die kinderen op jonge leeftijd (tussen 2 en 7 jaar) vormen, van groot belang bij het later opslaan van rekenfeiten in het geheugen.

Chunking is de geheime kracht van het geheugen: meer onthouden door slim te groeperen.

Voordat we hier dieper op ingaan, is het belangrijk om twee aspecten van het langetermijngeheugen te introduceren die we door het hele artikel heen bespreken: impliciete en expliciete kennis (Dienes & Perner, 1999; Karmiloff-Smith, 1992). Expliciete kennis omvat herinneringen die bewust kunnen worden opgeroepen, actief in het werkgeheugen worden vastgehouden, gemanipuleerd kunnen worden en via taal of symbolen kunnen worden gecommuniceerd. Het wordt vaak gelijkgesteld aan declaratief geheugen (kennis waarvan de inhoud geuit kan worden).

Daartegenover staat impliciete kennis, die meestal wordt geassocieerd met procedureel geheugen. Deze kennis is niet bewust oproepbaar of verwoordbaar. Ze omvat goed ingesleten vaardigheden (zoals fietsen), gewoonten, geconditioneerde reacties (Cohen & Squire, 1980; Wood & Rünger, 2016) en herinneringen die onder de drempel van het bewustzijn geactiveerd worden, zoals geprimede of zwak gerepresenteerde kennis (Tulving & Schacter, 1990; Garber et al., 1998; Munakata, 2001).

Niet alle details zijn van belang, maar het essentiële punt is: kennis kan zich bevinden op een continuüm van impliciet naar expliciet.

Kennis is niet zwart of wit; het beweegt tussen impliciet voelen en expliciet weten.

De processen in de dynamiek tussen werkgeheugen en langetermijngeheugen maken verschuivingen langs dat impliciet–expliciet continuüm mogelijk. Die verschuivingen helpen ons efficiënter te worden, bevorderen cognitieve ontwikkeling en maken het mogelijk om onze kennis te herstructureren tot steeds verfijndere mentale representaties.

In de wiskunde vindt conceptuele ontwikkeling regelmatig plaats langs dit continuüm van impliciete naar expliciete kennis en omgekeerd (Karmiloff-Smith, 1992; zie Figuur 1). Bij de ontwikkeling van rekenvaardigheid is vooral de verschuiving van expliciete naar impliciete kennis bekend en onderzocht. Dit proces heet proceduralisering en heeft als doel het bereiken van automatisering.

Wanneer de cognitieve ontwikkeling in deze richting verloopt, beginnen kinderen met een expliciete, veeleisende procedure of vaardigheid die door oefening evolueert tot een automatische, gespecialiseerde en minder bewuste handeling. Automatisering versterkt de representaties zodanig dat cognitieve hulpbronnen zoals werkgeheugen vrijkomen voor andere taken, zoals het opnemen van nieuwe informatie, het herkennen van patronen, reflecteren en het ontwikkelen van nieuwe strategieën.

Automatisering is een sleutelmechanisme waarmee het brein complexiteit beheersbaar maakt.

Figuur 1. Ontwikkeling langs het impliciet–expliciet continuüm.

De transformatie van expliciete naar impliciete kennis is een fundamenteel aspect van het ontwikkelen van rekenvaardigheid en veel lezers zullen dit proces herkennen. Neem bijvoorbeeld een kind dat leert optellen: in eerste instantie telt het kind 3 + 4 op door drie vingers op de ene hand en vier vingers op de andere te tellen en dan alle vingers samen te tellen om tot de som zeven te komen (Carpenter & Moser, 1984; Siegler & Jenkins, 1989). Deze strategie is traag en inspannend, maar vormt een startpunt.

Met oefening wordt de telstrategie sneller (“één, twee, drie... vier, vijf, zes, zeven”). Al snel schakelen veel kinderen over op efficiëntere methoden, zoals beginnen met het grootste getal (vier in dit geval) en daar het kleinere aantal bij optellen: “vijf, zes, zeven” (Baroody, 1987). Deze strategie kan worden gezien als een vorm van intuïtieve of impliciete chunking. Het maakt gebruik van zich ontwikkelende kennis van kardinaliteit, commutativiteit en optellen om overbodige stappen te elimineren en het probleem te herstructureren in een kleiner aantal betekenisvolle gehelen.

Elke vlotte optelsom begon ooit met tellen op de vingers.

Door deze toegenomen efficiëntie worden kinderen meestal sneller en maken ze minder fouten bij het oplossen van 3 + 4 en komen er cognitieve hulpbronnen vrij voor ander denkwerk (Geary et al., 1991; zie echter Hopkins et al., 2020). Sommige theorieën stellen dat echte automatisering pas bereikt wordt wanneer het proces is geëvolueerd tot directe, éénstaps-ophaling uit het langetermijngeheugen die niet meer bewust wordt aangestuurd (bijv. 3 + 4 zien en direct “zeven” weten; Logan, 1988). Toch is het bredere fenomeen van cognitieve ontwikkeling van inspannend naar automatisch functioneren (oftewel “verkregen automatisme”; Anderson, 1992) in meerdere theorieën te vatten (Anderson, 1996; Collins & Loftus, 1975; McClelland et al., 1995; Rumelhart et al., 1986).

Ongeacht het theoretische standpunt bestaat er brede overeenstemming dat het vrijmaken van cognitieve ruimte een kenmerk is van vaardig handelen (LeFevre & Kulak, 1994). Dit komt het wiskundig denken ten goede. Dit principe is fundamenteel in algemene cognitieve kaders zoals Andersons decompositiethese (2002) en Swellers cognitive load theory (2022) en ook in modellen van rekenvaardigheid zoals het SCADS-model van Shrager en Siegler (1998) en het netwerk-ophalingsmodel van Ashcraft (1982, 1995).

Vaardigheid ontstaat wanneer denkstappen worden vervangen door directe kennis.

Het onderbouwt tevens aanbevelingen zoals het ruime gebruik van rekenmachines in het basisonderwijs (NCTM, 2015; Reys & Arbaugh, 2001). Maar, zoals eerder genoemd, heeft echte automatisering die voortkomt uit mentale oefening duidelijke voordelen boven het uitbesteden van berekeningen aan een rekenmachine, omdat mentale oefening helpt om het onderling verbonden geheugen-netwerk te versterken (Pyke et al., 2008; Rittle-Johnson & Kmicikewycz, 2008; vgl. Gardony et al., 2015; Henkel, 2014; Risko & Gilbert, 2016).

Meer dan dertig jaar geleden vatte Anderson (1992) een aantal kernprincipes over automatisering samen die vandaag de dag nog steeds relevant zijn. Deze blijvende principes werpen licht op de oorzaken en gevolgen van rekenvaardigheid:

1. Consistente oefening verhoogt niet alleen de snelheid en nauwkeurigheid van uitvoering (Ericsson et al., 1993), maar maakt vaardigheden ook veerkrachtiger tegen geheugenverval (Altmann & Gray, 2002).
2. Bepaalde soorten oefening zijn effectiever voor het ontwikkelen van automatisering. Daaronder vallen retrieval practice (het actief oproepen van kennis uit het geheugen; Roediger & Karpicke, 2006) en spaced practice (het spreiden van leeractiviteiten over tijd; Bahrick et al., 1993; Cepeda et al., 2006).
3. Goed geoefende vaardigheden creëren efficiënties die het mogelijk maken om andere taken tegelijk uit te voeren (Ruthruff et al., 2008).

Mentale oefening legt een robuust geheugenfundament dat geen rekenmachine kan vervangen.

Toch ontstaat er ook een uitdaging: zodra vaardigheden een bepaalde mate van automatisering bereiken, kunnen ze moeilijk te onderdrukken zijn. Dit leidt tot het tweesnijdend zwaard van herhaling (Campbell, 1995; Crooks & McNeil, 2009; McNeil, 2014). Ondanks de stevige onderzoeksbasis worden deze principes in het onderwijs over rekenen nog lang niet altijd toegepast: een kloof die dit artikel wil helpen overbruggen.

Hoewel de overgang van expliciet naar impliciet (en dus naar automatisering) wijdverspreid erkend is in onderzoek naar rekenvaardigheid, is een andere ontwikkelingsverschuiving net zo belangrijk: de transformatie van impliciete kennis naar expliciete kennis. Karmiloff-Smith (1992) beschreef deze als motor van cognitieve ontwikkeling. Door ervaring en oefening ontwikkelt impliciete kennis zich tot meer abstracte, expliciete kennis via een proces dat zij representational redescription noemde.

Deze herschrijving van representaties sluit aan bij Sfards begrip van reïficatie in wiskundige ontwikkeling (Sfard, 1991; Sfard & Linchevski, 1994). Reïficatie is een specifieke vorm van representational redescription. Het is zichtbaar wanneer een kind een concrete, procedurele opvatting van een rekenkundige bewerking transformeert in een abstract begrip, waarbij de bewerking zelf als object wordt gezien. Deze cognitieve verschuiving maakt reflectie en manipulatie van wiskundige “objecten” mogelijk, zoals het verbaal kunnen benoemen van eigenschappen als commutativiteit of inversie (Prather & Alibali, 2009).

Wat eerst automatisch leek, kan pas echt begrepen worden als het opnieuw wordt doordacht.

We keren terug naar het voorbeeld van 3 + 4:

Een kind begrijpt deze combinatie in eerste instantie als een fysieke handeling: drie voorwerpen combineren met vier om zo zeven te verkrijgen. Hoewel het kind de handeling bewust uitvoert, is het begrip van wat “zeven” of “optellen” betekent nog impliciet. Na verloop van tijd ontwikkelt zich een meer abstract begrip. Het kind gaat inzien dat 3 + 4 slechts één van vele vormen van zeven is. Dit duidt op een gegeneraliseerd, expliciet inzicht.

Op dat punt kan het eerdere proces van optellen (drie en vier) worden gezien als een object waarop kan worden gereflecteerd, zonder het proces zelf uit te voeren. De oorspronkelijke kennis is dan geherinterpreteerd of gereïficeerd tot een meer abstracte vorm. Het kind kan nu 3 + 4 als object manipuleren, inclusief de bewerking én de uitkomst. Dit is de operationeel-structurele dualiteit (Sfard, 1991; vgl. Gray & Tall, 1994).

Deze cognitieve verschuiving is essentieel in ontwikkeling omdat het kinderen in staat stelt om procedurele ideeën te comprimeren tot compacte chunks, die makkelijker te manipuleren zijn en zo het begrip verbreden (Sfard & Linchevski, 1994). Het kind kan nu 3 + 4 en 7 en hun bijbehorende processen analyseren, herstructureren en combineren (bijv. 4 + 4 – 1, 3 + 3 + 1, 5 + 2, 8 – 1) en zo wiskundig denken verdiepen (vgl. Arnon et al., 2014; Goodson-Espy, 1998; Kaput, 1989; Prather & Alibali, 2009).

Een vergelijkbare ontwikkeling vindt plaats bij vermenigvuldiging: 5 × 6 wordt eerst gezien als vijf objecten in zes groepjes tellen, daarna als “vijf herhalen, zes keer” (tellen in sprongen) en uiteindelijk als 5 × 5 + 5 – een afgeleide feitenstrategie (vgl. Hackenberg & Tillema, 2009).

De verschuiving van impliciete naar expliciete kennis komt ook tot uiting bij het ontdekken van strategieën. Kinderen halen patronen uit dagelijkse ervaringen en gebruiken die om voorspellingen te doen (Saffran & Kirkham, 2018). Zo bouwen ze impliciete kennis van getallen en relaties op. Ze kunnen al een effectieve strategie gebruiken nog voordat ze deze bewust kunnen herkennen of benoemen (Alibali & Goldin-Meadow, 1993; Haverty, 1999; Siegler & Stern, 1998).

Kinderen gebruiken soms al strategieën die ze nog niet kunnen uitleggen.

Bijvoorbeeld: oefenen met de cognitief veeleisende count-all-strategie (alles optellen vanaf 1) leidt ertoe dat kinderen efficiëntere strategieën ontwikkelen, zoals counting on (beginnen bij het grootste getal). Die laatste strategie wordt soms al gebruikt vóórdat het kind expliciet begrijpt dat optellen commutatief (verwisselbaar) is (Baroody & Gannon, 1984). Een kind begint dan bijvoorbeeld bij 34 en telt er 6 bij op en niet andersom.

Case (1985) stelde dat ontwikkeling langs de impliciet–expliciet dimensie (zoals bij het ontdekken van strategieën) vaak samenvalt met de omgekeerde richting (van expliciet naar impliciet). Daarom kan het makkelijker zijn om nieuwe strategieën te ontwikkelen binnen vertrouwde leerinhouden.

Dit inzicht is belangrijk voor rekenvaardigheid, omdat het suggereert dat het bereiken van vloeiendheid via oefening en automatisering ook de ontdekking en constructie van nieuwe, geavanceerde strategieën stimuleert.

Met andere woorden: rekenvaardigheid vormt een springplank naar hoger niveau wiskundig denken.

Vloeiend rekenen is geen eindpunt, maar een springplank naar wiskundig denken op hoger niveau.

De twee onderling verweven ontwikkelingsprocessen die in Figuur 1 zijn weergegeven (de overgang van expliciet naar impliciet (automatisering) en de overgang van impliciet naar expliciet (abstractie en verantwoording)) spelen een sleutelrol in de ontwikkeling van rekenvaardigheid én daarbuiten. Deze concepten keren terug in de volgende secties en vormen een kader dat zowel het belang van rekenvaardigheid onderstreept als verklaart waarom bepaalde instructiemethoden effectiever zijn dan andere.

Is het investeren van tijd in rekenvaardigheid de moeite waard?

Nu we rekenvaardigheid hebben gedefinieerd en de bijbehorende cognitieve processen hebben besproken, staan we stil bij de vraag waarom deze vaardigheid belangrijk is. Gaat het alleen om prestige? Hoe weten we of het werkelijk iets oplevert?Om deze vragen te beantwoorden, kijken we naar een aanzienlijke hoeveelheid bewijs dat de fundamentele rol van rekenvaardigheid in onderwijsprestaties onderstreept. Dit bewijs komt uit verschillende typen studies: cross-sectioneel, longitudinaal en experimenteel. Deze onderzoeken maken gebruik van uiteenlopende meetmethoden, waaronder vragenlijsten, gedragstaken, computationele modellen en neuroimagingtechnieken.

Correlatiestudies meten de samenhang tussen rekenvaardigheid en hogere prestaties in wiskunde, wetenschap en techniek. Hierbij vergelijken onderzoekers rekenvaardigheid tussen bestaande groepen (bijv. kinderen met of zonder rekenstoornis, of studenten in wetenschappen, technologie, techniek en wiskunde-richtingen versus studenten in andere richtingen), of ze meten de snelheid en nauwkeurigheid waarmee eenvoudige sommen worden opgelost, in combinatie met prestaties op belangrijke wiskundige toetsen of andere relevante uitkomsten. Ook controleren ze voor overlappende variabelen, zoals demografische kenmerken en scores op andere numerieke of cognitieve taken. Uit dit soort onderzoek blijkt consistent dat rekenvaardigheid samenhangt met hogere prestaties in wiskunde en wetenschap, zelfs als er wordt gecorrigeerd voor andere factoren (bijv. Berkowitz & Stern, 2018; Fuchs et al., 2006; Geary, 1996; Geary & Brown, 1991; Russell & Ginsburg, 1984; Siegler, 1988; Tolar et al., 2009).

Rekenvaardigheid blijkt keer op keer een betrouwbare voorspeller van succes in wiskunde, wetenschap en techniek.

Bijvoorbeeld: onder middelbare scholieren blijkt dat leerlingen die voor eenvoudige rekenproblemen een beroep doen op actieve berekening (aangetoond door verhoogde activiteit in de intraparietale sulcus in het brein) lagere scores halen op de wiskundesectie van de PSAT (een test voor studenten, red.) (Price et al., 2013). Daarentegen scoren leerlingen hoger van wie de hersenactiviteit duidt op automatische feitophaling (bijv. activatie in de linker supramarginale gyrus en anterieure cingulate cortex). Dit suggereert dat het in de middelbare school belangrijk is om sommen snel te kunnen oproepen, in plaats van ze telkens opnieuw uit te rekenen. Ook blijkt bij universiteitsstudenten die kiezen voor een studie in wiskunde of natuurkunde dat individuele verschillen in rekenvaardigheid een goede voorspeller zijn van prestaties op eindexamens in vakken als calculus, lineaire algebra, mechanica, elektriciteit en magnetisme. Rekenvaardigheid voorspelt deze uitkomsten beter dan vaardigheden in ruimtelijk en verbaal redeneren (Berkowitz & Stern, 2018).

Dat is een logische bevinding: mentale rekenvaardigheid stelt studenten in staat zich te concentreren op relaties tussen variabelen, op de betekenis van gelijkheid en op het toepassen van algebraïsche principes, in plaats van vast te lopen in rekenprocedures. Bijvoorbeeld: om matrices te manipuleren of vergelijkingen op te lossen, moeten leerlingen cognitieve ruimte hebben om dieper dan de berekening te kijken naar onderliggende structuren en eigenschappen. Toch laten correlatiestudies slechts een verband zien. Ze kunnen niet aantonen wat eerst komt: leidt rekenvaardigheid tot betere prestaties in wiskunde, of is het andersom? Deze studies proberen vaak te corrigeren voor factoren zoals demografie, werkgeheugen of onderwijskwaliteit, maar ze kunnen nooit alle invloeden meenemen, waardoor onzekerheid blijft bestaan.

Toch laten correlatiestudies slechts een verband zien. Ze kunnen niet aantonen wat eerst komt: leidt rekenvaardigheid tot betere prestaties in wiskunde, of is het andersom? Deze studies proberen vaak te corrigeren voor factoren zoals demografie, werkgeheugen of onderwijskwaliteit, maar ze kunnen nooit alle invloeden meenemen, waardoor onzekerheid blijft bestaan.

Vloeiend kunnen rekenen en automatiseervaardigheden geven leerlingen cognitieve ruimte om zich te richten op begrip in plaats van op procedures.

Longitudinale studies bieden sterker bewijs, omdat ze individuen over tijd volgen om te zien hoe rekenvaardigheid toekomstige prestaties voorspelt. In zulke studies meten onderzoekers bij aanvang de rekenvaardigheid, wiskundige prestaties, andere numerieke en cognitieve vaardigheden én demografische gegevens. Vervolgens worden de kinderen maanden of jaren gevolgd en wordt hun wiskundige vooruitgang op latere momenten opnieuw gemeten. Dit longitudinale ontwerp is een grote verbetering ten opzichte van momentopnames, omdat het aannemelijker maakt dat prestatiegroei toe te schrijven is aan rekenvaardigheid en niet slechts aan reeds bestaande vaardigheden of andere factoren.

Uit longitudinaal onderzoek blijkt dan ook overtuigend dat rekenvaardigheid toekomstige prestaties in wiskunde voorspelt, zelfs als er wordt gecontroleerd voor andere variabelen (Carr & Alexeev, 2011; Cheng et al., 2022; Fuchs et al., 2016; Geary, 2011; Jordan et al., 2003; Lin & Powell, 2021; Powell et al., 2019). Zo toonden Carr en Alexeev (2011) aan dat rekenvaardigheid van kinderen tussen 7 en 8 jaar voorspellend is voor hun rekenstrategieën en algemene rekencompetentie op 10-jarige leeftijd. Dit onderstreept het belang van monitoring en ondersteuning om tijdig voldoende vaardigheid te ontwikkelen.

Een analyse van het Britse National Child Development Study liet zien dat rekenvaardigheid op 7-jarige leeftijd zowel direct als indirect de sociaaleconomische status (SES) op 42-jarige leeftijd voorspelt, zelfs als wordt gecontroleerd voor aanvankelijke SES en cognitieve vaardigheden (Ritchie & Bates, 2013). Deze uitkomsten zijn opvallend en vormen een krachtig argument voor ouders en leerkrachten om vroeg in te zetten op wiskundige ontwikkeling. Toch kunnen ook longitudinale studies geen sluitend oorzakelijk bewijs leveren. Zelfs met uitgebreide statistische correcties kunnen stabiele, niet-gemeten factoren bijdragen aan alternatieve verklaringen (Bailey et al., 2017).

Wie op jonge leeftijd rekenvaardig is, vergroot niet alleen zijn schoolsucces, maar ook zijn latere sociaaleconomische kansen.

Gerandomiseerde experimenten bieden wél direct oorzakelijk bewijs voor de voordelen van rekenvaardigheid. Interventies die gericht zijn op het bevorderen van rekenvaardigheid leiden tot verbeterde wiskundeprestaties (Bryant et al., 2011; Fuchs et al., 2005; Fuchs, Geary, et al., 2013; Gersten et al., 2015; Haverty, 1999; Kroesbergen & Van Luit, 2003; Re et al., 2014). Deze effecten hangen mogelijk samen met toegenomen automatisering. Dit wordt zichtbaar in hersenactiviteit: van frontale gebieden verschuift de activiteit naar de linker pariëtale cortex (Delazer et al., 2005). Een voorbeeld: een interventie gericht op optelvaardigheid bij 6- tot 7-jarigen leidde tot betere prestaties op complexe rekenopgaven en tekstproblemen, mede doordat efficiëntere ophaalstrategieën werden aangeleerd (Fuchs, Geary, et al., 2013). In een ander experiment verbeterde een snelle drill-techniek bij 13-jarigen hun vermenigvuldigingsvaardigheid (bijv. tafels van 17). Dat vertaalde zich naar hogere nauwkeurigheid op algebra-opgaven waarbij desbetreffende rekenfeiten relevant waren (Haverty, 1999; zie Figuur 2).

De kracht van deze experimenten zit in het gebruik van willekeurige toewijzing: deelnemers worden willekeurig in een interventiegroep (die de oefening krijgt) of een controlegroep geplaatst. Hierdoor kunnen verschillen in prestaties met zekerheid worden toegeschreven aan de interventie. Naast leerwinst hebben dergelijke interventies ook positieve effecten op het zelfbeeld van kinderen, hun houding ten opzichte van wiskunde en zelfs op het verminderen van wiskundeangst (Passolunghi et al., 2020; Sokolowski & Necka, 2016; Supekar et al., 2015; Woodward, 2006). Deze bevindingen laten zien hoe breed en diepgaand de voordelen zijn van het bevorderen van rekenvaardigheid.

Effectieve rekeninterventies versterken niet alleen prestaties, maar verschuiven ook hersenactiviteit naar efficiëntere netwerken.

Figuur 2. Voorbeeld van een inductieprobleem geïnspireerd op Haverty (1999) dat de voordelen van vloeiendheid in vermenigvuldigen laat zien.

Hoewel onderzoek onze stelling ondersteunt dat investeren in rekenvaardigheid de moeite waard is, is er aanvullend experimenteel onderzoek nodig. Het meest robuuste causale bewijs tot nu toe komt uit kortlopende interventies, meestal tussen de 10 en 20 weken, gericht op kinderen met aantoonbare rekenproblemen (bijv. Clarke et al., 2016; Fuchs, Geary, et al., 2013; Gersten et al., 2015; Smith et al., 2013). Deze studies laten sterke initiële verbeteringen zien, maar die voordelen nemen af zodra leerlingen terugkeren naar de reguliere setting (Bailey et al., 2018; Clarke et al., 2016; Smith et al., 2013).

Het is mogelijk dat sommige effecten blijven bestaan en op langere termijn bijdragen aan geleidelijke vooruitgang (Bailey et al., 2020), maar deze vooruitgang wordt na verloop van tijd waarschijnlijk minder. Op zichzelf staande interventies kunnen niet opboksen tegen de voordelen van voortdurende ondersteuning zoals die vaak beschikbaar is voor kansrijke leerlingen. Denk aan gezelschapsspelletjes in de avond, flitskaartoefeningen met ouders, of langdurige begeleiding door tutoren in het zogenoemde ‘schaduwonderwijs’ (Bray, 2009). Er is behoefte aan onderzoek dat zich richt op langdurige interventies gericht op mastery learning over meerdere schooljaren, of op de invoering van nieuwe schoolbrede visies of curricula, om het werkelijke langetermijneffect op individuen en de samenleving te bepalen.

Korte interventies bieden veelbelovende resultaten, maar hun effecten vervagen zodra leerlingen weer in de reguliere setting komen.

Er is dus meer onderzoek nodig. Maar tot nu toe zijn de bevindingen duidelijk: investeren in rekenvaardigheid van kinderen loont. Met name oefening die gericht is op het automatisch kunnen ophalen van sommen en producten vermindert de belasting van het werkgeheugen bij probleemoplossen (Hecht, 2002; Tronsky, 2005; Tronsky et al., 2008). Gezien de eerder besproken beperkingen van het werkgeheugen, kunnen deze vrijgekomen cognitieve hulpbronnen vervolgens ingezet worden voor steeds complexere taken, zoals probleemoplossen in meerdere stappen of het begrijpen van abstractere concepten zoals breuken of variabelen. Tegelijkertijd maakt rekenvaardigheid het mogelijk om metacognitieve reflectie en abstractie toe te passen, waardoor leerlingen wiskundige structuren kunnen herkennen en daarover kunnen redeneren (Rittle-Johnson et al., 2001). Bijvoorbeeld: vloeiendheid in vermenigvuldigen en delen ondersteunt het redeneren over breuken, co-variatie, inductief redeneren, verhoudingen en het ontbinden in factoren bij algebra (Hackenberg & Tillema, 2009; Haverty, 1999; Hino & Kato, 2019; NRC, 2001; Siegler & Pyke, 2013; Woodward, 2006). Deze onderling verweven leerprocessen helpen verklaren waarom rekenvaardigheid zo’n krachtige voorspeller is van wiskundige prestaties.

Vloeiend vermenigvuldigen en delen vormt de basis voor inzicht in breuken, verhoudingen en algebraïsche structuren.

Hoe kunnen we kinderen helpen om rekenvaardigheid te ontwikkelen?

We komen nu bij de kern van dit artikel: hoe ouders en andere opvoeders kinderen kunnen helpen bij het ontwikkelen van rekenvaardigheid. De wisselwerking tussen werkgeheugen en langetermijngeheugen betekent dat rekenvaardigheid in de kern gebouwd wordt op de getallen, relaties en bewerkingen die kinderen in hun vroege jaren vormen (Baroody et al., 2012; Bartelet et al., 2014; Dyson et al., 2015; Koponen et al., 2013, 2020; Locuniak & Jordan, 2008; Nanu et al., 2018; Psyridou et al., 2023). Deze fundamentele representaties vormen essentiële knooppunten in het geheugen-netwerk en worden uiteindelijk de leerobjecten in het retrieval practice-proces op school. Onderzoek laat dan ook zien dat vroege leerervaringen en een sterk ontwikkeld getalbegrip in de vroege kindertijd de weg banen voor het verwerven van rekenvaardigheid.

Wat kinderen jong leren over getallen vormt later de bouwstenen voor succesvol rekenen.

In de volgende secties bespreken we eerst de basisvaardigheden die in de vroege kindertijd belangrijk zijn om te ontwikkelen. Daarna gaan we in op evidence-based strategieën om rekenvaardigheid verder op te bouwen naarmate kinderen ouder worden. In beide delen geven we praktische adviezen voor leraren en het brede publiek, waarbij we onze aanbevelingen toelichten. De aanbevelingen worden samengevat in Tabel 2.

Vroege fundamenten

Het verwerven van rekenvaardigheid is zowel het resultaat van als de input voor een interactieve leerontwikkeling die plaatsvindt langs het impliciet–expliciet continuüm. Om dit ontwikkelingsproces goed te begrijpen, is het belangrijk om inzicht te hebben in de vroege fundamenten die kinderen helpen vooruitgang te boeken op dit leerpad (volgens Clements et al., 2011; Frye et al., 2013).

Een nuttige vergelijking is die met het leren lezen. Onderzoek naar hoe kinderen leren lezen heeft aangetoond dat er fundamentele bouwstenen zijn die vloeiend lezen met begrip ondersteunen, zoals taalbegrip, fonologisch bewustzijn (het besef van klankeigenschappen van taal, zoals lettergrepen, rijm en intonatie), fonemisch bewustzijn (woorden opvatten als combinaties van klanken of fonemen) en fonetiek (het kunnen koppelen van klanken aan letters – ook wel “decoderen” genoemd; Castles et al., 2018; Seidenberg, 2017).

Zijn er vergelijkbare bouwstenen die kinderen voorbereiden op rekenvaardigheid? In de hiernavolgende secties geven we een overzicht van wat er momenteel bekend is over de fundamentele vaardigheden die kinderen helpen op hun weg naar rekenkundige vloeiendheid.

Net zoals klankbewustzijn de sleutel is tot lezen, vormen vroege getalinzichten de sleutel tot rekenen.

Preverbale fundamenten

Jonge kinderen begrijpen wiskundige ideeën al voordat ze formeel onderwijs krijgen. Zelfs preverbale baby’s vertonen rudimentaire kennis van getallen (Cordes & Brannon, 2008; Izard et al., 2009). Deze kennis omvat zowel een globaal gevoel voor hoeveelheden (voor schatten en vergelijken) als het vermogen om kleine aantallen exact te volgen tot ongeveer drie à vier objecten (Feigenson et al., 2004; Hyde, 2011).

Deze systemen maken het mogelijk om numerieke (of getalachtige) informatie zonder woorden of symbolen te representeren. Dit wordt 'non-symbolisch getalbegrip' genoemd. Interessant is dat soortgelijke capaciteiten worden waargenomen bij veel niet-menselijke dieren (Brannon & Merritt, 2011; Cantlon, 2012; Davis & Pérusse, 1988; Nieder, 2021; Pepperberg, 1994; Reznikova & Ryabko, 2011).

Kinderen beschikken al vóór ze kunnen praten over een intuïtief gevoel voor hoeveelheden.

Sommige onderzoekers zien deze systemen als bewijs voor aangeboren numerieke concepten (Carey, 2004; Spelke, 2000), maar voor dit artikel is het minder van belang of deze systemen aangeboren zijn of snel na de geboorte ontwikkeld worden. Het cruciale punt is dat kinderen deze twee systemen vanaf jonge leeftijd kunnen gebruiken om kwantitatieve informatie te representeren. Dit wordt ook wel het approximate number system, analoge getalsysteem of analoge hoeveelheidsysteem genoemd. Het stelt kinderen in staat om ongeveer te bepalen hoeveel een set bevat en deze te vergelijken met andere sets.

Een belangrijk kenmerk van dit systeem is dat het onnauwkeurig is: het is moeilijker om onderscheid te maken tussen twee sets als hun hoeveelheden dicht bij elkaar liggen. Bijvoorbeeld: als je twee stippenverzamelingen ziet flitsen op een scherm (de ene met 8 stippen en de andere met 16) dan is het eenvoudig te bepalen welke groter is. Maar bij 15 en 16 wordt het veel moeilijker. Het vermogen om onderscheid te maken tussen twee sets hangt af van de verhouding (bijv. 1:2 is makkelijker dan 2:3) en niet van het absolute verschil. Dit staat bekend als de wet van Weber. De scherpte van analoge getalsysteem neemt toe met de leeftijd (Halberda & Feigenson, 2008):

• Baby’s kunnen onderscheid maken bij een 1:2 verhouding
• 3-jarigen bij 2:3
• 5-jarigen bij 4:5
• Volwassenen bij verhoudingen van 7:8 tot 9:10

Voor dit artikel is het voldoende om te weten dat dit systeem:

• Een gevoel geeft voor ‘meer’ en ‘minder’,
• Waarschijnlijk rekenkundige bewerkingen ondersteunt (Barth et al., 2006; McCrink & Spelke, 2010, 2016),
• Uiteindelijk wordt gekoppeld aan woorden en symbolische getallen (Holloway & Ansari, 2009; Libertus et al., 2016; Lipton & Spelke, 2005).

Het analoge getalsysteem helpt jonge kinderen om 'meer' en 'minder' te begrijpen, zelfs als de aantallen nog geen naam hebben.

Het tweede preverbale systeem, vaak aangeduid als het “object-bestand”- of “object-volg”-systeem, stelt kinderen in staat om kleine, exacte sets te herkennen en te volgen (Feigenson et al., 2002). Dit systeem staat centraal in de vroege numerieke cognitie van kinderen en effent het pad naar het begrijpen van tellen en kardinaliteit (Carey & Barner, 2019; Le Corre & Carey, 2008). Het stelt kinderen in staat om individuele objecten in kleine sets te identificeren en “bij te houden”, en biedt een vroege basis voor het begrijpen, construeren en manipuleren van exacte hoeveelheden (Feigenson & Halberda, 2004). Een functie van dit object-bestand-systeem is subiteren: het automatische herkennen van kleine, exacte hoeveelheden zonder te tellen (bijv. Clements, 1999; Logan & Zbrodoff, 2003; Mandler & Shebo, 1982; Trick & Pylyshyn, 1994).

Subiteren is iets anders dan serieel tellen. Serieel tellen wordt toegepast bij grotere aantallen. Bij jonge kinderen is subiteren beperkt tot drie à vier objecten, maar met ontwikkeling en structuur kan het worden uitgebreid, bijvoorbeeld via vaste visuele patronen (dobbelsteenpatronen, vijfstructuren) of door grotere hoeveelheden op te splitsen in subiteerbare subsets (Starkey & McCandliss, 2014). Deze meer complexe vorm heet conceptueel subiteren (Clements, 1999) of groupitizing (Starkey & McCandliss, 2014). Beide vormen van subiteren zijn onderwerp van actief onderzoek, maar het is duidelijk dat ze het begrip van getallen, relaties en strategieën ondersteunen (bijv. begrijpen van getalvolgorde, kardinaliteit en het construeren van rekeneenheden).

Subiteren is het vermogen om kleine aantallen in één oogopslag te herkennen, zonder te hoeven tellen.

Het snel herkennen van subiteerbare hoeveelheden correleert met prestaties op andere rekentaken (Gray & Reeve, 2014, 2016; LeFevre et al., 2010, 2022). Het kunnen gebruiken van groeperingsaanwijzingen om snel de exacte hoeveelheid te bepalen, voorspelt bovendien wiskundeprestaties op unieke wijze (Guillaume et al., 2023).

Deze vaardigheid verschilt van serieel tellen, het proces dat meestal wordt gebruikt om sets groter dan vier te kwantificeren. In het begin is subiteren beperkt tot het herkennen van kleine verzamelingen tot drie à vier objecten. Met ontwikkeling en goed gestructureerde ervaringen is het echter mogelijk om grotere verzamelingen te subiteren, mits deze in herkenbare visuele patronen zijn geplaatst (bijv. stippen op een dobbelsteen of in een vijf- of tienframe; Clements, 1999; Mandler & Shebo, 1982; McGuire et al., 2012; O’Rear & McNeil, 2019) of zijn opgedeeld in subsets van subiteerbare hoeveelheden (Starkey & McCandliss, 2014; Wender & Rothkegel, 2000). Deze meer gevorderde vorm van subiteren, door Clements (1999) “conceptueel subiteren” genoemd en door Starkey en McCandliss (2014) “groeperend subiteren” (“groupitizing”), bouwt mogelijk voort op de meer basale “perceptuele subiteratie”, maar de exacte mechanismen zijn nog onderwerp van lopend onderzoek.

Zowel perceptueel als conceptueel subiteren omvat het groeperen van objecten in sets en beide kunnen fungeren als bouwstenen voor de ontwikkeling van numerieke concepten en probleemoplossende strategieën, zoals het begrijpen van kardinaliteit, het ordenen en vergelijken van getallen, het construeren van rekenkundige eenheden en het bereiken van rekenkundige vloeiendheid (Clements, 1999; O’Rear & McNeil, 2019; Paliwal & Baroody, 2020; Starkey & McCandliss, 2014; Wilkins et al., 2022). Het snel herkennen van perceptueel subiteerbare hoeveelheden hangt samen met prestaties op andere wiskundige taken (Gray & Reeve, 2014, 2016; LeFevre et al., 2010, 2022) en het vermogen om groeperingsaanwijzingen te gebruiken om efficiënt de exacte waarde van een set te bepalen, voorspelt uniek het wiskundig succes (Guillaume et al., 2023).

Zoals we in de volgende sectie bespreken, is het belangrijk dat opvoeders ervoor zorgen dat kinderen voldoende ervaring opdoen met het koppelen van subiteerbare sets aan de bijbehorende telwoorden (bijv. “drie” horen en zeggen in het bijzijn van drie voorwerpen; Carey, 2014). Toch ontbreken er nog steeds duidelijke, op bewijs gebaseerde richtlijnen voor de optimale balans tussen subiteren, conceptueel subiteren, het koppelen van getallen aan woorden en één-op-één tellen.

Het groeperen van hoeveelheden in herkenbare patronen helpt kinderen om grotere sets snel te herkennen.

Na de preverbale periode

Zoals besproken, gaat het wiskundige begrip van jonge kinderen verder dan alleen maar het herkennen van getalnamen of het opzeggen van de telrij (Greenes et al., 2004). Baby’s en jonge kinderen pikken relevante numerieke stimuli uit hun omgeving op (Karmiloff-Smith, 1992),  herkennen patronen en vormen een eerste impliciet begrip van getallen, relaties en bewerkingen. Toch zijn deze preverbale, non-symbolische getalsystemen beperkt. Ze kunnen bijvoorbeeld geen onderscheid maken tussen 12 en 13 cupcakes op een feestje en ze maken het niet mogelijk om exacte maten te begrijpen, zoals 60 seconden in een minuut. Voor succes in formele wiskunde is een preciezer begrip van exacte getallen boven de vier essentieel (Batchelor et al., 2015; Hannula et al., 2010; Izard et al., 2008).

De echte uitdaging en inderdaad de belangrijkste taak voor ouders en andere opvoeders in de vroege kindertijd, is dan ook het begeleiden van de overgang van dit vroege getalbegrip naar de latere kennis die nodig is voor formele wiskunde. In deze sectie richten we ons op de expliciete numerieke vaardigheden die kinderen ontwikkelen in de vroege kinderjaren. Zoals we laten zien, zijn deze vaardigheden beïnvloedbaar en kunnen ze worden ontwikkeld door vroege ervaringen met getallen (NRC, 2009). We beschrijven niet alleen de getalgerelateerde vaardigheden die jonge kinderen moeten verwerven, maar benadrukken ook hun belang voor de wiskundige ontwikkeling als geheel. Daarnaast bespreken we individuele verschillen en wat deze betekenen voor de voorbereiding van jonge kinderen op succes op school.

Vaardigheden op het gebied van getalbegrip die zich in de vroege kindertijd ontwikkelen, vallen uiteen in drie samenhangende domeinen die voortbouwen op het preverbale getalbegrip (Devlin et al., 2022; Jordan et al., 2022; Milburn et al., 2019):

1. Getallen
2. Getalrelaties
3. Bewerkingen met getallen

Deze componenten, gezamenlijk aangeduid als “vroeg getalbegrip” of early number sense, vormen geen strikte hiërarchie. In plaats daarvan hangt het leren binnen en tussen deze componenten af van de grootte van een set (bijv. kleine vs. grotere hoeveelheden) en van het niveau van kwantiteitsrepresentatie (non-symbolisch met objecten of plaatjes versus symbolisch met getalwoorden of cijfers). Een kind kan bijvoorbeeld bij een kleine set van drie objecten het aantal bepalen en zelfs optellen om exact te berekenen dat één plus twee drie is. Maar getalsymbolen (zoals getalwoorden en cijfers) zijn essentieel om exacte hoeveelheden groter dan subiteerbare sets op te slaan en te manipuleren (Frank et al., 2008). Het begrip van deze woorden en formele symbolen bepaalt in belangrijke mate het latere wiskundige succes (De Smedt et al., 2013; Lau et al., 2021).

Rekenvaardigheid begint met hoeveelheden, maar echte vooruitgang vraagt het verbinden van getallen met woorden en symbolen.

Een belangrijk doel van vroeg wiskundeonderwijs is om kinderen te helpen hun kennis van hoeveelheden te integreren met getalwoorden en wiskundige symbolen (Hurst et al., 2017; Lira et al., 2017). Op deze weg naar vloeiend rekenen zijn er veel belangrijke mijlpalen in het symbolisch getalbegrip, zoals tellen, cijfers herkennen en concrete sets koppelen aan cijfers. Het is niet haalbaar om elke mijlpaal volledig te bespreken, maar Tabel 3 toont enkele belangrijke ontwikkelingsmijlpalen binnen deze componenten die bijzonder betekenisvol zijn, maar mogelijk minder bekend dan het kunnen tellen tot 20 of het benoemen van de cijfers 1 tot en met 9.

Tabel 3.

Vroege mijlpalen op weg naar rekenvaardigheid

Belangrijke mijlpaal voor vroeg getalbegrip: kardinaliteit

Kinderen leren vaak tellen in alledaagse situaties en terecht kunnen ouders trots zijn als hun kind tot 20 kan tellen. aar hoe ver een kind kan tellen, zegt nog niets over of het begrijpt wat getallen werkelijk betekenen. Leren om de telreeks te gebruiken om hoeveelheden te bepalen is een langdurig proces dat vaak meer tijd kost dan veel ouders zich realiseren (Cheung & Ansari, 2020; Cheung et al., 2022; LeFevre et al., 2006).

Gelman en Gallistel (1978) identificeerden drie telprincipes:

• Eén-op-één correspondentie: elk object in een verzameling krijgt één telwoord; elk object telt slechts één keer.
• Stabiele volgorde: de telwoorden moeten in een vaste, herhaalbare volgorde gebruikt worden (altijd “één, twee, drie...”).
• Kardinaliteit: het laatste telwoord geeft de totale hoeveelheid aan (“vier” na “één, twee, drie, vier” betekent dat er vier objecten zijn).

Als kinderen deze telprincipes begrijpen, kunnen ze abstraheren dat álles te tellen is, ongeacht de grootte, kleur of vorm. Zelfs abstracte entiteiten zoals dagen van de week kunnen worden geteld. Bovendien maakt het niet uit in welke volgorde geteld wordt (van boven naar beneden of andersom), zolang elk object maar één keer wordt geteld en de telwoorden in stabiele volgorde blijven.

Tellen is meer dan rijtjes opzeggen. Het vraagt inzicht in één-op-één correspondentie, stabiele volgorde en kardinaliteit.

Van deze drie principes verdient vooral het kardinaliteitsprincipe extra aandacht, vanwege zijn fundamentele rol in het basisonderwijs (Fuson, 1988; Geary et al., 2018). Om vast te stellen of een kind dit principe begrijpt, gebruiken onderzoekers vaak de zogenaamde 'give-N-taak' (Sarnecka & Carey, 2008; Wynn, 1990): kinderen krijgen een stapel muntjes en wordt gevraagd om precies N muntjes te geven (bijv. “Geef me drie muntjes”).

Het leren van kardinaliteit begint meestal tussen het tweede en vijfde levensjaar, wanneer kinderen getalwoorden beginnen te koppelen aan kleine subiteerbare sets (Le Corre & Carey, 2007). Dit verloopt doorgaans in een herkenbaar ontwikkelingspatroon (Carey, 2009; Le Corre et al., 2006; Wynn, 1992):

1. In het begin zijn kinderen zogenaamde "één-kenners": ze kunnen betrouwbaar “één” geven, maar begrijpen nog geen hogere aantallen. Hun mentale categorie is dan “één” versus “meer dan één”, vergelijkbaar met het enkelvoud/meervoudonderscheid in taal.
2. Na verloop van tijd worden ze "twee-kenners": ze kunnen zowel één als twee betrouwbaar geven, en begrijpen “één”, “twee” en “veel”.
3. Vervolgens worden ze "drie-kenners", enzovoort.

Kinderen kunnen in deze fase vaak al tot tien of hoger tellen, maar hun begrip van kardinaliteit groeit via talige processen waarbij ze leren om getalwoorden te koppelen aan hun preverbale object-volgsysteem dat kleine exacte aantallen kan representeren (Carey & Barner, 2019; Wagner et al., 2015).

Kardinaliteit begrijpen betekent weten dat ‘drie’ niet zomaar een woord is, maar een exacte hoeveelheid.

Deskundigen op het gebied van vroegschoolse rekenontwikkeling raden dan ook aan om veel te oefenen met het koppelen van telwoorden aan het totaal van een set. Bijvoorbeeld door na het tellen hardop te benoemen hoeveel het er zijn ("Dus hoeveel zijn het er? Drie!"). Dit helpt kinderen om het kardinaliteitsprincipe te ontdekken (Mix et al., 2012; O’Rear & McNeil, 2019; Paliwal & Baroody, 2017). Rond het moment dat kinderen het subiteerbare bereik (ongeveer vier objecten) ontgroeien, gaan ze zich gedragen als "kardinaliteitskenners": ze kunnen dan betrouwbaar elke set geven waarvan ze het aantal kunnen tellen.

Een belangrijke conclusie uit deze ontwikkelingslijn is dat succes op een kardinaliteitstaak afhankelijk is van zowel de grootte van de set als de telvaardigheid van het kind. Een kind dat tot tien kan tellen en kleine sets van één tot drie correct kan geven, hoeft nog niet volledig te begrijpen dat het laatste telwoord de hoeveelheid aanduidt. Nauwkeurigheid bij grotere sets vereist bovendien niet alleen begrip van het concept setgrootte, maar ook beheersing van het telproces zelf. In de wetenschappelijke literatuur bestaat discussie over de exacte mijlpalen en wat telt als volledig begrip van kardinaliteit (Baroody & Lai, 2022; Cheung et al., 2022; Sella et al., 2021), maar voor dit artikel volstaat de algemene richtlijn: een kind wordt beschouwd als kardinaliteitskenner als het betrouwbaar sets kan geven groter dan vier (Negen et al., 2012).

Pas als kinderen ook grotere sets betrouwbaar kunnen geven, spreken we van echt kardinaliteitsbegrip.

Het verwerven van het kardinaliteitsprincipe wordt breed erkend als een cruciale ontwikkelingsmijlpaal. Deze consensus bestaat zowel onder onderzoekers op het gebied van cognitieve ontwikkeling (Bermejo, 1996; Fluck et al., 2005; Frye et al., 1989; Geary et al., 2018; Mix et al., 2012; O’Rear & McNeil, 2019; Posid & Cordes, 2015; Slusser & Sarnecka, 2011; Wynn, 1992) als onder experts in rekenonderwijs aan jonge kinderen (Frye et al., 2013; Fuson, 1988; NCTM, 2000). Het kardinaliteitsprincipe stelt kinderen niet alleen in staat om het doel van tellen te begrijpen, maar ook de betekenis van getalwoorden (Fuson, 1988). Het vormt daarmee de basis voor latere rekenvaardigheden zoals vergelijken, optellen en aftrekken, en het begrijpen van het opvolgingsprincipe (Clements & Sarama, 2014; Frye et al., 2013; Spaepen et al., 2018).

Empirisch onderzoek bevestigt dit: een vroeg begrip van kardinaliteit hangt samen met vlot kunnen rekenen (Aunio & Niemivirta, 2010; Stock et al., 2009) en met succes in wiskunde in bredere zin (Geary et al., 2018; Geary & vanMarle, 2016; Nguyen et al., 2016).

Sommige kinderen begrijpen kardinaliteit al vóór de start van de basisschool (Sarnecka & Gelman, 2004; Wynn, 1990), maar er zijn grote verschillen in leeftijd waarop dit begrip ontstaat. Sommige kinderen zijn al op driejarige leeftijd kardinaliteitskenner, terwijl anderen (vooral kinderen uit gezinnen met lage inkomens) dit pas begrijpen op hun vijfde of later (Fuson, 1988; Geary, 1994; Geary et al., 2018; Gunderson & Levine, 2011; O’Rear et al., 2020; O’Rear & McNeil, 2019; Sarnecka et al., 2018; Sarnecka & Lee, 2009; Starkey et al., 2004).

Helaas is de aandacht voor deze ontwikkelingsmijlpaal grotendeels beperkt gebleven tot de onderzoekswereld. Daardoor missen belangrijke personen in het leven van kinderen (zoals ouders, kinderartsen en pedagogisch medewerkers) vaak kansen om dit begrip al vóór de basisschool te stimuleren (cf. Parks & Wager, 2015). In tegenstelling tot taal- en geletterdheidsontwikkeling, die vaak al vanaf zes maanden wordt gescreend, blijven vroege wiskundige concepten zoals kardinaliteit meestal buiten beeld (Walter, 2019).

Veelgebruikte ontwikkelingsscreenings zoals Ages and Stages, Denver of BrightFuture bevatten vóór de leeftijd van 48 maanden nauwelijks vragen over rekenvaardigheid. En als dat al zo is, dan ligt de nadruk vooral op telvaardigheid of rekentaal (zoals het benoemen van vormen of ruimtelijke richtingen), niet op kardinaliteit. Zo wordt in Ages and Stages aan vierjarigen gevraagd of ze tot 15 kunnen tellen, maar niet of ze begrijpen dat het laatste getelde getal de totale hoeveelheid aanduidt.

Deze blinde vlek is een belangrijk gemis in de publieke en pediatrische praktijk.

Waar taalontwikkeling vroeg wordt gescreend, blijft vroeg rekenbegrip zoals kardinaliteit vaak onzichtbaar.

Het gebrek aan aandacht voor wiskundige gereedheid in de vroege kindertijd heeft maatschappelijke gevolgen. Kinderartsen, die afhankelijk zijn van deze onvolledige screeningsinstrumenten, leggen de nadruk op taal- en geletterdheidsontwikkeling en geven ouders weinig inzicht in het belang van rekenvaardigheid. Ouders overschatten daardoor vaak het begrip van hun kind en laten dagelijkse kansen onbenut om rekeninzicht te stimuleren, zoals simpelweg vragen “Dus hoeveel zijn het er?” nadat een kind iets telt (Fluck, 1995; Linnell & Fluck, 2001).

Met betere screening en voorlichting zouden ouders deze kansen kunnen grijpen (zie Tabel 3 voor vrij toegankelijke suggesties). De onderwaardering van wiskundige ontwikkeling in de vroege kindertijd ondermijnt het potentieel van jonge kinderen en vraagt om snelle actie. Denk aan het herzien van screeningsinstrumenten, het aanpassen van medische opleidingen (bijv. Hammond et al., 2022) en het starten van publieke bewustwordingscampagnes rond kardinaliteit. Dit is cruciaal om ervoor te zorgen dat álle kinderen het fundament krijgen dat nodig is voor een vlotte rekenontwikkeling.

Belangrijke mijlpaal voor getalrelaties: ordenen en vergelijken van symbolische getallen

Zelfs nadat kinderen begrip hebben ontwikkeld van kardinaliteit, staan ze voor de uitdaging om deze kennis te verbinden met het vroege niet-verbale systeem (voor benaderend vergelijken) én met formele symbolen (zoals cijfers). Zo kan een kind dat goed antwoordt op de vraag “hoeveel zijn het er?” en de grotere stapel kiest bij zes versus negen blokken, alsnog moeite hebben met de vraag welke groter is: “zes” of “zeven”, of welke kleiner is: “6” of “7” (Resnick, 1989).

In de vroege kindertijd ontwikkelt zich het inzicht in getalrelaties (Case et al., 1996). Kinderen begrijpen dat getalwoorden hoeveelheden representeren en relatief met elkaar vergeleken kunnen worden. Ze ontwikkelen een mentale getallenlijn, waarbij elk opvolgend geheel getal altijd één groter is dan het vorige (het opvolgingsprincipe) wat essentieel is voor het leren van optellen (Sella & Lucangeli, 2020; Siegler & Booth, 2005). Case et al. (1996) noemden dit mentale beeld een “mentale telrij”, die dient als een lens waardoor kinderen naar hun wiskundige wereld kijken én als een bouwsteen voor nieuwe wiskundige kennis. Die mentale telrij kan worden vertaald naar een symbolische getallenlijn, een tastbaar hulpmiddel dat vaak op tafels of muren in klaslokalen te vinden is.

Op zo’n fysieke getallenlijn staan cijfers gerangschikt op volgorde van grootte. Die visuele lijn weerspiegelt de mentale telrij die kinderen intern ontwikkelen. Wanneer kinderen in hun omgeving omgaan met getallen, waaronder zulke fysieke getallenlijnen, beginnen ze die getallen ook mentaal in een lineaire volgorde te plaatsen. Ze ontwikkelen geavanceerde splitsstrategieën die bijdragen aan het construeren van een symbolisch ordeningssysteem in het brein (Chesney & Matthews, 2013; Siegler & Opfer, 2003; Xing et al., 2021). De externe getallenlijn weerspiegelt dus niet alleen de mentale telrij, maar verfijnt die ook verder. Zo helpt hij kinderen om getalrelaties te leren en te onthouden (Opfer et al., 2010; Ramani & Siegler, 2008; Siegler & Booth, 2005; Thompson & Siegler, 2010).

De mentale telrij helpt kinderen om getallen te ordenen en vormt de basis voor optellen en andere rekenstrategieën.

Een cruciaal onderdeel van die mentale getallenlijn is het vermogen om nauwkeurig te bepalen welk van twee symbolische getallen groter is (bijvoorbeeld: wat is groter, 6 of 7?). Het duurt vaak meerdere jaren voordat kinderen vloeiend worden in zulke symbolische vergelijkingen (Holloway & Ansari, 2009). De ontwikkeling hiervan verloopt met grote individuele verschillen en deze verschillen voorspellen het wiskundige kennisniveau, het risico op rekenproblemen (Mazzocco & Thompson, 2005) en de mate van rekenvlotheid (De Smedt et al., 2009; Hawes et al., 2019; Mundy & Gilmore, 2009; Nosworthy et al., 2013).

Symbolische getalvergelijking en rekenvlotheid delen waarschijnlijk kernprocessen: het kunnen afleiden van getalwaarden uit Arabische cijfers (Holloway & Ansari, 2009). Maar er is veel discussie over de vraag in hoeverre symbolisch en non-symbolisch vergelijken van hoeveelheden dezelfde mentale representaties gebruiken (Halberda et al., 2008; Leibovich & Ansari, 2016; Lyons et al., 2015; Núñez, 2017; Reynvoet & Sasanguie, 2016). Wat wel duidelijk is uit een grote hoeveelheid empirische studies en meta-analyses, is dat symbolische getalverwerking sterker en consistenter samenhangt met rekenvlotheid dan non-symbolische verwerking (De Smedt et al., 2013; Fazio et al., 2014; Schneider et al., 2016). Dit onderstreept hoe belangrijk het is dat kinderen leren begrijpen hoe symbolen getallen representeren, en dat deze symbolen deel uitmaken van een geordende reeks.

Symbolische getalverwerking voorspelt rekenvlotheid beter dan het schatten van hoeveelheden.

Er wordt vaak aangenomen dat het meer “basale” non-symbolische getalbegrip de symbolische kennis beïnvloedt, maar in werkelijkheid lijkt de invloed vaker andersom te verlopen. Naarmate kinderen symbolische rekenvaardigheid opbouwen, verandert dat hun verwerking van non-symbolische hoeveelheden (Goffin & Ansari, 2019). Zo liet een longitudinale studie van 5- tot 7-jarigen zien dat symbolische getalverwerking leidde tot verbeteringen in non-symbolisch getalbegrip, maar niet andersom (Lau et al., 2021). Dat komt overeen met een interventiestudie waaruit bleek dat oefening met symbolen het schatten van hoeveelheden verbeterde, maar dat oefenen met schatten niet leidde tot betere symbolische vaardigheden (Honoré & Noël, 2016).

Dit proces laat zien hoe kinderen via representational redescription (zoals in figuur 1) van expliciet naar impliciet verder ontwikkelen. Als kinderen leren dat symbolen exacte hoeveelheden aanduiden, leren ze ook eigenschappen van getallen die in non-symbolische vorm minder zichtbaar zijn, zoals behoud van hoeveelheid, even/oneven, plaatswaarde, lineaire ordening en commutativiteit. Dat verdiept en herschikt de structuur van hun bestaande impliciete getalrepresentaties (Lau et al., 2021; cf. Yuan et al., 2019).

Kort gezegd: wanneer kinderen getallen symbolisch leren representeren, verandert dat hoe ze naar hoeveelheden in de wereld kijken. Er is nog meer onderzoek nodig naar de precieze mechanismen, maar het belang van symbolische rekenvaardigheid staat buiten kijf. Nauwkeurigheid in het ordenen en plaatsen van cijfers op een getallenlijn, én vloeiend kunnen bepalen welk getal groter is, zijn fundamentele mijlpalen in het vroege getalbegrip op weg naar rekenkundige vloeiendheid.

Als kinderen leren dat symbolen exacte aantallen weergeven, verandert dat hun hele kijk op getallen.

Kernmijlpalen voor bewerkingen met getallen: strategieën gebaseerd op rekenkundige eigenschappen

De precieze leeftijd waarop jonge kinderen beginnen met het begrijpen van bewerkingen met getallen is onderwerp van debat en verschilt per context (bijvoorbeeld het soort leerervaringen dat het kind opdoet). Sommige studies suggereren dat het begrip van optellen aangeboren is of al in de vroege kindertijd ontstaat (McCrink & Wynn, 2004; Simon et al., 1995; Uller et al., 1999; Wynn, 1992), terwijl andere studies deze conclusie betwisten met tegengestelde gegevens en argumenten (Cohen & Marks, 2002; Wakeley et al., 2000). Ondanks dit debat is één ding duidelijk: nog vóór de start van het formele onderwijs hebben veel kinderen al strategieën aangeleerd om eenvoudige rekenproblemen op te lossen, of hebben ze geleerd over optellen en aftrekken door alledaagse ervaringen (Hughes, 1981; Starkey et al., 2004; Starkey & Gelman, 1982). Het begrip van rekenkundige bewerkingen ontwikkelt zich verder tussen de leeftijden van 4 tot 8 jaar en vormt daarmee een fundament voor rekenkundige vaardigheid.

De strategieën die kinderen (vanaf ongeveer 4 jaar) gebruiken bij hoofdrekenen kunnen worden onderverdeeld in drie hoofdtypen: 1) telstrategieën, 2) reproductiestrategieën (inclusief het ophalen van regels zoals vermenigvuldigen met nul) en 3) afgeleide-feitenstrategieën (derived-facts strategies) (zie o.a. Baroody, 2006; Isaacs & Carroll, 1999; Sherin & Fuson, 2005). Telstrategieën houden in dat kinderen verzamelingen samenvoegen en ze vervolgens tellen (bijvoorbeeld: “één, twee, drie...”) en zijn de vroegst ontwikkelde strategieën. Deze strategieën ontwikkelen zich langs twee niet-wederzijds uitsluitende dimensies: van fysiek naar mentaal en van inefficiënt naar geoptimaliseerd. In de fysieke-naar-mentale dimensie beginnen kinderen met het tellen van concrete objecten (zoals vingers of blokken) en schakelen ze geleidelijk over naar mentaal tellen. Langs de inefficiënt-naar-geoptimaliseerd dimensie beginnen kinderen met het afzonderlijk tellen van beide getallen voordat ze ze optellen en leren ze door oefening efficiëntere manieren van groeperen, zoals de doortelstrategie bij optellen, waarbij ze starten bij het eerste getal en verder tellen met het tweede (bijvoorbeeld bij 3 + 4: “drie... vier, vijf, zes, zeven”; Fuson, 1992; Geary et al., 2004; Siegler & Robinson, 1982), of de sprongenstrategie bij vermenigvuldigen, waarbij ze in stappen tellen (bijvoorbeeld bij 5 × 6: “5, 10, 15, 20, 25, 30”; Sherin & Fuson, 2005). Deze strategieën markeren belangrijke vooruitgang en worden mogelijk gemaakt door herhaalde oefening, waardoor kinderen zich ontwikkelen van expliciete naar impliciete kennis en andersom.

Al vóór de basisschool ontwikkelen veel kinderen informele strategieën om op te tellen en af te trekken.

De meest efficiënte telstrategie bij optellen is de “min-strategie”, waarbij gestart wordt met het grootste getal en vanaf daar wordt doorgeteld (bijvoorbeeld bij 3 + 4: “vier... vijf, zes, zeven”). Deze strategie verkleint het aantal benodigde telstappen en weerspiegelt een impliciet begrip van de commutatieve eigenschap van optellen (Baroody & Gannon, 1984; Resnick, 1983). Met oefening kunnen kinderen deze strategie zeer efficiënt gebruiken (Steinberg, 1985), vooral bij kleinere getallen (Rathmell, 1978). Naarmate kinderen zich verder ontwikkelen en meer ervaring opdoen (soms met specifieke instructie), maken ze vaak de overgang van telstrategieën naar geavanceerdere en efficiëntere strategieën. Eén daarvan is directe reproductie, waarbij de uitkomst direct uit het geheugen wordt opgehaald, zonder mentale berekening. Dit directe weten, zoals bij “gewoon weten” dat 3 + 4 gelijk is aan 7 zonder te tellen, is wat veel ouders beschouwen als rekenvaardigheid. Sommige getalcombinaties, zoals die met uitkomst 10 (bijvoorbeeld 6 + 4), dubbele getallen (zoals 7 + 7) en specifieke vermenigvuldigingsfeiten (zoals tafels van 0, 1, 5, 10 en kwadraten) zijn doorgaans gemakkelijker te onthouden dan andere (Campbell & Graham, 1985; Groen & Parkman, 1972; LeFevre et al., 2004; Sherin & Fuson, 2005; Wood & Frank, 2000). Maar zelfs ogenschijnlijk eenvoudige feiten, zoals dubbelen, vereisen jaren van oefening voordat ze automatisch worden opgehaald (Bagnoud et al., 2021). Verschillen tussen soorten sommen suggereren dat patronen en betekenis binnen getallen helpen bij het ontwikkelen van vloeiendheid (Sherin & Fuson, 2005; Woodward, 2006).

Hoewel directe reproductie vaak wordt beschouwd als ideaal, kan rekenvaardigheid ook worden bereikt met zinvolle strategieën, zoals de afgeleide-feitenstrategieën (derived-facts), waarbij kinderen gebruikmaken van bekende feiten en getalinzicht om snel uitkomsten te berekenen (zie Tabel 4; Bagnoud et al., 2021; Baroody, 1999; Baroody & Gannon, 1984; Baroody et al., 1983; Cooney et al., 1988; Dowker, 2009; Sherin & Fuson, 2005; Steinberg, 1985; Thevenot et al., 2016). Historisch gezien werden deze strategieën vaak gezien als ‘reserve-oplossingen’ (Campbell & Alberts, 2009; Geary, Bow-Thomas, et al., 1996; Jordan & Montani, 1997; Siegler, 1989) of als een opstap naar reproductie (Ashcraft, 1982). Maar ze weerspiegelen een diepgaand begrip dat cruciaal is voor rekenvaardigheid (Dowker, 2009; Geary et al., 2013; Hecht, 1999; Henry & Brown, 2008). Wanneer kinderen dit soort denkstrategieën gebruiken bij het oplossen van optelsommen, zijn ze doorgaans nauwkeuriger en bijna net zo snel als bij directe reproductie (Geary, Bow-Thomas, et al., 1996). In feite zou wat lijkt op directe reproductie in werkelijkheid een snelle toepassing van afgeleide-feitenstrategieën kunnen zijn. Er is nog veel onderzoek nodig, maar als dit klopt, zou het vergelijkbaar zijn met bevindingen uit leesvaardigheidsonderzoek: waar de schijn van directe toegang tot woordbetekenis (tekst naar betekenis) in werkelijkheid verloopt via fonologische tussenstappen (Van Orden, 1987).

Wat eruitziet als ‘gewoon weten’ kan in werkelijkheid een razendsnelle denkstrategie zijn.

Tabel 4. Voorbeelden van afgeleide-feitenstrategieën 

Aan de kern van de derived-facts-strategie (strategie van afgeleide feiten) ligt het idee dat hoeveelheden niet ondeelbaar zijn, maar kunnen worden opgedeeld in kleinere getallen. Dit duiden Fuson et al. (2001) aan als “break-apart partners” of “getalparen die zich verbergen in een getal”. Zo kan het getal 4 worden gezien als “één en drie” of “twee en twee” (Devlin, 2021; Fuson et al., 2001; Geary et al., 2009). De uitdrukking 7 × 4 kan worden opgevat als (7 × 2) × 2 of als “7 en 7” en “7 en 7”. Het opdelen van het totaal in zulke getalpartners helpt kinderen om de flexibiliteit en onderlinge relaties tussen getallen te begrijpen (Cheng, 2012). Als getalpartners worden samengevoegd, ontstaat er altijd een grotere hoeveelheid. Als een van de partners wordt weggenomen, blijft er altijd een kleinere hoeveelheid over. In het geval van optellen helpt dit kinderen inzien dat de volgorde van de samen te voegen hoeveelheden geen invloed heeft op de uitkomst. Een basis voor begrip van het commutatieve eigenschap. Bij aftrekken bevordert het inzicht in de inverse relatie tussen de getallen. Als je weet dat 2 + 3 = 5, dan weet je dus ook dat 5 − 2 = 3 en 5 − 3 = 2.

Begrijpen hoe getalpartners werken, is geen trucje, maar een fundamenteel principe dat bijdraagt aan numerieke flexibiliteit en conceptueel begrip en zo de basis vormt voor rekenkundige vlotheid. Dit idee hangt nauw samen met het eerder besproken concept van conceptueel subiteren (Clements, 1999), waarbij één mogelijke onderliggende vaardigheid perceptuele groepering is in combinatie met het vlot herkennen van getalpartners. Mensen herkennen bijvoorbeeld sneller twee groepjes van drie als “zes” dan een groepje van drie en een groepje van twee als “vijf”, ook al zijn de herkenningstijden voor subitizing van “twee” en “drie” gelijk. Mogelijk komt dit doordat ‘gelijke paren’ vlotter worden opgehaald uit het geheugen dan ‘ongelijke’ paren (Ciccione & Dehaene, 2020).

Begrip van getalparen is geen rekenkunstje, maar de sleutel tot flexibiliteit en inzicht in optellen en aftrekken.

Geavanceerde strategieën zoals afgeleide-feitenstrategieën zijn niet alleen snelle en efficiënte manieren om sommen en producten te berekenen, maar vormen ook bouwstenen voor toekomstige rekenprestaties (Baroody et al., 2016; Baroody & Tiilikainen, 2003; Cowan, 2003; Fayol & Thevenot, 2012; Geary, 2011; Geary et al., 2013; Sunde et al., 2023). Zo toonden Fennema et al. (1998) aan dat kinderen van ongeveer 6 à 7 jaar die decompositie-strategieën toepassen, een dieper begrip van optellen en aftrekken laten zien bij nieuwe, onbekende opgaven dan hun leeftijdsgenoten die deze strategieën niet gebruiken. Christensen en Cooper (1992) benadrukten dat kinderen die deze strategieën gebruiken, ook meer gebruik maken van directe reproductie nadat zij instructie hebben gekregen gericht op het ontwikkelen van deze strategieën. Dergelijke strategieën bieden waarschijnlijk een mentaal raamwerk om sommen te structureren in gelijkwaardige waarden (Chesney et al., 2014) en impliceren een intuïtief begrip van fundamentele eigenschappen zoals commutativiteit en associativiteit. Kinderen die deze strategieën toepassen, bouwen aan een sterk netwerk van getalrelaties in hun langetermijngeheugen. Dat netwerk bereidt hen voor op betekenisvolle en efficiënte retrieval-oefening. Dit stimuleert vervolgens ontwikkeling in twee richtingen binnen het expliciet-impliciet continuüm. Het bevordert de procedurele verwerking van strategieën (van zware cognitieve belasting naar meer automatische responsen) én ondersteunt representational redescription: het expliciet maken van impliciet begrepen eigenschappen van rekenkundige bewerkingen. Dit stimuleert abstractie en verantwoording en draagt zo bij aan het ontwikkelen van rekenkundige vlotheid: een noodzakelijke stap richting complexere wiskundige probleemoplossing.

Hoewel individuele verschillen in het gebruik van geavanceerde rekenstrategieën belangrijk zijn, is het van belang te erkennen dat strategieontwikkeling niet uniform verloopt. Zelfs bij één individu kan de keuze van strategie sterk variëren (Siegler, 1996). Factoren die de strategiekeuze beïnvloeden zijn onder andere de grootte van de getallen (Campbell & Xue, 2001; LeFevre et al., 1996; Siegler & Shipley, 1995), vertrouwdheid met het probleem (Schunn et al., 1997; Shrager & Siegler, 1998) en de wijze waarop het probleem wordt gepresenteerd. Dit wordt ook wel de “oppervlaktevorm” genoemd (Campbell et al., 2004). Andere invloeden zijn bijvoorbeeld “retrieval interference” (interferentie bij geheugenoproep), waarbij omringende opgaven herinneringen activeren die het ophalen van het juiste antwoord verstoren (Campbell & Timm, 2000), persoonlijkheidskenmerken (Siegler, 1988) en tijdsdruk (Campbell & Austin, 2002). Zo blijkt dat mensen onder tijdsdruk eerder neigen naar directe reproductie (Campbell & Austin, 2002). Ondanks deze variabiliteit toont het geheel van het onderzoek overtuigend aan dat afgeleide-feitenstrategieën bijzonder waardevol zijn vanwege hun nauwkeurigheid, efficiëntie en flexibiliteit, geworteld in de eigenschappen van het rekenen.

Strategiekeuze is geen vaste route, maar een flexibele afweging beïnvloed door context, ervaring en druk.

Een verrijkende vroege omgeving bevordert ontwikkeling

Ouders en andere opvoeders helpen kinderen bij het opbouwen van kennis over getallen, hun onderlinge relaties en bewerkingen. Ze begeleiden kinderen bij het manipuleren van concrete objecten en het koppelen van deze ervaringen aan woordgebruik en formele wiskundesymbolen. Zo wordt impliciet begrip van rekenkundige eigenschappen omgezet in expliciete inzichten (Carpenter et al., 1983; Dyson et al., 2013; Slusser et al., 2019).

Ontwikkeling kan gestimuleerd worden in de vroege kinderjaren via alledaagse, wiskundige ervaringen en interacties (Ginsburg et al., 2012). Voorbeelden van zulke activiteiten zijn:

• Wiskunde in gesproken taal: gesprekken die kinderen horen van ouders, leerkrachten of leeftijdsgenoten over hoeveelheden, vergelijken of rekenen (Gunderson & Levine, 2011; Klibanoff et al., 2006; Ramani et al., 2015).
• Voorlezen van getallenboeken en prentenboeken: boeken waarin wiskundige taal voorkomt, waardoor kinderen die taal in context horen (Gibson et al., 2020; Hassinger Das et al., 2015; Mix et al., 2012; O’Rear & McNeil, 2019; Purpura et al., 2017, 2021, 2023).
• Getalspellen spelen: spelvormen waarin kinderen belangrijke wiskundige representaties en concepten oefenen (MacDonald & Shumway, 2016; Ramani & Siegler, 2008; Whyte & Bull, 2008).
• Rollenspel met rekensituaties: zoals winkelen met speelgoed, waarin gesproken wordt over hoeveelheden en verhoudingen (Lu et al., 2023).
• Ruimtelijke activiteiten: zoals vormenpuzzels, blokken, tangrams en Tetris, die een brug slaan naar wiskundig denken (Newcombe, 2013; Verdine et al., 2017).
• Kwalitatief educatieve programma’s: zoals Sesame Street, dat jonge kinderen blootstelt aan numerieke concepten via beeld en taal (Kearney & Levine, 2019; Mares & Pan, 2013).

Andere begeleide, speels-educatieve activiteiten zetten informele getalideeën om in begrijpelijke en deelbare concepten, waardoor de verbinding ontstaat tussen dagelijks tellen en formele wiskunde (Ginsburg et al., 2008).

Ouders en opvoeders kunnen alledaagse situaties vertalen naar betekenisvolle rekenervaringen die abstract denken voorbereiden.

Helaas zien veel verzorgers en leerkrachten niet het potentieel van deze dagelijkse ervaringen en begeleide ontdekkingen voor wiskundiger begrip (Cannon & Ginsburg, 2008; Vandermaas Peeler et al., 2012). Zelfs wanneer ouders pogingen doen om wiskundig gedrag thuis te ondersteunen, verschilt hun kennis en voorkeur over wat effectief is (Gaylord et al., 2020; Susperreguy et al., 2020). Ouders zijn niet altijd op de hoogte van de beste strategieën om impliciete kennis te koppelen aan formele symbolen (Douglas & Rittle Johnson, 2024; Zippert & Rittle Johnson, 2020). Psychologische wetenschap kan hierbij ondersteunen.

Hoewel retrieval- en afgeleide-feitenstrategieën positieve resultaten laten zien in wiskunde, moeten ouders en opvoeders oppassen dat ze niet te vroeg focussen op memorisatie van symbolische feiten. Men kan leren van eerdere fouten, zoals het begin van de jaren 2000, toen sommige staten eisten dat kinderen tegen zeven jaar alle basis optel- en aftrekfeiten uit hun hoofd kenden. Dit bleek een aanpak die onrealistisch, ineffectief en mogelijk schadelijk was (Henry & Brown, 2008).

Zoals we in het volgende deel bespreken, is goed gestructureerde retrieval-oefening nodig om te garanderen dat alle kinderen rekenvaardigheid ontwikkelen. De verleiding om de instructie voortijdig te sturen naar deze memorisatie-strategieën, door vingertellen te verbieden en kinderen vroeg afgeleide-feitenstrategieën te laten leren zonder stevige basis, moet met voorzichtigheid benaderd worden. Zo’n benadering weerspiegelt een denkfout: expertise begint niet met het aanleren van expertgedrag, maar met het verstevigen van fundamenteel begrip en de koppeling met wiskundesymbolen.

Zonder stevige basis wordt te vroege nadruk op geheugenwerk een valkuil in plaats van een voorsprong.

Bijvoorbeeld: hoewel het doel van rekenonderwijs is dat leerlingen verder groeien dan vingerrekenstrategieën en abstract denken, kunnen 6-jarigen nog steeds profijt hebben van systematische vingertelactiviteiten voor het versterken van hun rekenprestaties (Frey et al., 2024). Als kinderen omgaan met een goed voorbereide omgeving, beginnen ze de betekenis van getalwoorden en symbolen echt te begrijpen. Dat stelt hen in staat hun numeriek denken uit te breiden op manieren die essentieel zijn voor formeel wiskundig leren.

Helaas krijgen niet alle kinderen dergelijke rijke wiskundige ervaringen. Die ongelijkheid in vroege blootstelling verklaart mede de grote verschillen in numerieke vaardigheden bij de schoolstart (Elliott & Bachman, 2018; Magnuson et al., 2004; Reardon & Portilla, 2016; Saxe et al., 1987). Een belangrijke factor in deze variatie is de sociaaleconomische status (SES) van het gezin (Reardon & Portilla, 2016). Onderzoek laat keer op keer zien dat kinderen uit lage-inkomensgezinnen bij de start van school vaak minder ontwikkeld zijn in vroege getalvaardigheid dan hun middengroepen (Griffin et al., 1994; Klein et al., 2008; Starkey et al., 2004). Deze verschillen voorspellen later vaak wiskundeproblemen (Duncan et al., 2007; Jordan et al., 2009; Nguyen et al., 2016; Watts et al., 2014). Daarom is het versterken van deze fundamentele vaardigheden cruciaal voor langdurig schoolsucces (Klein et al., 2008; Mix et al., 2011).

Dyson en collega’s (2013) lieten zien dat het versterken van getalbegrip rond 5-jarige leeftijd aanzienlijke voordelen geeft. Hun interventie van 24 sessies over 8 weken leidde tot langetermijnverbeteringen op gestandaardiseerde rekenprestatietests. Het programma richtte zich op fundamenten als tellen, kardinaliteit, vergelijken en manipulatie van hoeveelheden van 1 tot 10, gebruikmakend van concrete hulpmiddelen zoals fiches en vingers.

Het programma was erop gericht impliciete sensitiviteit voor getallen te koppelen aan objecten, wiskundetaal (getalwoorden) en formele symbolen (Arabische cijfers), een aanpak die aansluit bij bewijzen dat sterk getalbegrip een basis vormt voor latere wiskundesucces (NRC, 2009).

Een rijke rekenomgeving maakt het verschil. Vooral voor kinderen die thuis minder wiskundige kansen krijgen.

De interventie was deels gebaseerd op onderzoek dat liet zien dat kinderen uit lage-inkomensgezinnen moeite hebben met het koppelen van niet-symbolisch begrip aan woorden en symbolen (Jordan et al., 1992; Slusser et al., 2019). Jordan et al. (1992) vonden geen SES-verschil bij non-symbolische taken, zoals optellen en aftrekken onder een afdekking met kleine fiches. Dat suggereert dat ondanks minder blootstelling aan formele wiskundedruk, deze kinderen wel preverbale getalkennis hebben. Toch wordt die vaak over het hoofd gezien door leerkrachten. Dyson et al.’s programma was daarom specifiek opgezet om die koppeling te leggen.

Het actief expliciet verbinden van informele, concrete representaties met formele symbolen wordt sterk ondersteund door psychologische wetenschap (Ching & Wu, 2019; Fyfe et al., 2014; Fyfe & Nathan, 2019; Ottmar & Landy, 2017). Deze aanpak is gebaseerd op Bruner’s (1966) idee van concreteness fading, waarbij studenten zich ontwikkelen van fysieke ervaring via visuele representaties naar abstracte symbolen. De volgorde concreet–representatief–abstract wordt veel toegepast binnen speciaal onderwijs (Bouck et al., 2018; Butler et al., 2003; Peterson et al., 1988).

Het interventieprogramma van Dyson et al. (2013) omvatte concrete voorstellingen en vingertellen. Vingers zijn een natuurlijk en intuïtief hulpmiddel voor jonge kinderen om kleine hoeveelheden te representeren in de enactive fase en helpen bij de overgang van niet-symbolisch naar symbolisch begrip (Jordan et al., 2008). Aangezien vingers voor de meeste kinderen beschikbaar zijn en bruikbaar tot 10, dragen ze bij aan telvaardigheid. Er wordt zelfs gesuggereerd dat ons talstelsel gebaseerd zou kunnen zijn op vingertellen (Ardila, 1993) en neurologisch gezien zijn vingerbewegingen en numeriek begrip gelinkt (Ardila, 1993; Butterworth, 1999).

Moeite met vingertellen (vingeragnosie) is soms gelinkt aan rekenproblemen, hoewel bewijs hiervoor gemengd is (Neveu et al., 2023). Toch blijkt het spontaan gebruiken van vingertellen bij 5-jarigen een onderscheid te maken tussen kinderen die succesvol zijn op getalcombinaties en degenen die dat niet zijn (Jordan et al., 1992). Vingerondersteuning was dan ook een belangrijk onderdeel van Dyson et al.'s succesvolle interventie.

De kracht van vingers ligt niet alleen in tellen, maar in het slaan van de brug tussen denken en symboliseren.

Vroeg vingertellen kan de ontwikkeling van rekenvaardigheid voorspellen. Kinderen die vóór 5-jarige leeftijd vingers gebruiken bij rekenen, behalen op latere leeftijd meer vlotheid met getalcombinaties (Jordan et al., 2009; Locuniak & Jordan, 2008). Rond de 5-jarige leeftijd gebruiken veel kinderen hun vingers voor getallen tot 10, maar met ervaring schakelen ze uiteindelijk over op efficiëntere strategieën zoals counting on (doortellen). Kinderen die moeite hebben om voor de leeftijd van 7 los te komen van tastbare objecten, hebben vaak bredere problemen in wiskunde (Carr & Alexeev, 2011). Vroege telstrategieën zijn dus belangrijk voor rekenvaardigheid en sommige theorieën beweren dat elk proces van zelf antwoorden genereren helpt deze in het geheugen te verankeren (Geary, 1993; Siegler & Shipley, 1995). Het is echter onjuist om aan te nemen dat kinderen vanzelf retrieval-strategieën ontwikkelen door alleen vingertelstrategieën te oefenen.

Overmatige afhankelijkheid van onrijpe telstrategieën en trage feitophaling zijn kenmerkend voor kinderen met rekenproblemen (Jordan et al., 2003; Muñez et al., 2023). Zulke kinderen beginnen met vingeren later, blijven langere tijd tellen met alle vingers en gebruiken onrijpe strategieën zoals count-all. Bijvoorbeeld, bij de som 5 + 2 blijf je dan bij alle vingers van één hand beginnen te tellen. Kinderen die kardinaliteit begrijpen (en de vijf vingers vertrouwen) kunnen hun telling vereenvoudigen door twee vingers slechts erbij te tellen vanaf vijf. Kinderen die het commutativiteitsprincipe begrijpen, weten zelfs dat ze kunnen starten bij het grootste getal, indien dat sneller is.

Overmatig vertrouwen op onvolwassen telstrategieën en trage feitophaling zijn kenmerkend voor kinderen met rekenproblemen (Jordan et al., 2003; Muñez et al., 2023). Deze kinderen beginnen later met vingertellen, gebruiken minder geavanceerde tel-alle-strategieën en blijven dit langer volhouden (Jordan et al., 2009). Sommige kinderen vertrouwen niet op de vijf vingers van hun hand en blijven bij “vijf tellen” opnieuw vanaf één tellen. Als het kind bijvoorbeeld 5 + 2 berekent, telt het eerst alle vijf vingers op één hand en twee op de andere en telt dan alle vingers opnieuw om tot zeven te komen. Kinderen die kardinaliteit begrijpen (en de vijf vingers vertrouwen), kunnen eenvoudig twee erbij tellen vanaf vijf. Kinderen die inzicht hebben in commutativiteit weten dat ze kunnen beginnen bij het grootste getal, ongeacht positie. Dat is sneller.

Vingertellen is een waardevol startpunt, maar kinderen moeten leren erop te vertrouwen én er op tijd van los te komen.

Evidence-based strategieën om rekenvaardigheid doelgericht te ontwikkelen in de basisschool

Wanneer ouders en opvoeders van informele activiteiten (zoals voorlezen, spelletjes en vingertellen) overgaan naar gerichte, formele onderwijsstrategieën voor oudere leerlingen, wordt het belangrijk onderscheid te maken tussen effectieve en minder effectieve aanpakken. De wetenschap geeft hierover heldere inzichten.

1. Specifieke training: focus op wiskunde

Leren vindt het effectiefst plaats in de context waarin de vaardigheid wordt toegepast. Onderzoek in uiteenlopende domeinen (zoals motoriek, taal, perceptuele taken, probleemoplossing) benadrukt dat overdracht sterker is naarmate de leer- en testsituatie meer overeenkomen (Healy et al., 2006; Thorndike & Woodworth, 1901; Morris et al., 1977; Roediger et al., 1989).

Kortom: geconcentreerde rekeninstructie en oefening zijn onmisbaar voor het vergroten van rekenvaardigheid. Dit is met name relevant gezien de opkomst van “brain-training” bedrijven (zoals Brain Balance, Neurocore, LearningRx, Brain Gym). Er is echter geen overtuigend bewijs dat generieke cognitieve training rekenvaardigheid of wiskundeprestaties verbetert (Katz et al., 2018; Melby Lervåg et al., 2016; Simons et al., 2016; Stojanoski et al., 2021). Ontwikkelingen als het versterken van doorzettingsvermogen, mindset, mindfulness, schaken, muziek of taal leren zijn waardevol op zichzelf, maar verbeteren niet automatisch rekenvaardigheid (Sala & Gobet, 2017). Terwijl gezonde voeding, beweging en slaap belangrijk blijven, blijft gerichte wiskundige oefening de meest betrouwbare manier om rekenvaardigheid te ontwikkelen.

Wat je leert, leer je het best in de context waarin je het nodig hebt. Rekenen leer je dus door veel te rekenen. 

2. Gestructureerde, doelgerichte oefening

Onderzoek bevestigt dat gerichte oefening nodig is om vaardigheid op te bouwen: “We worden beter in wat we oefenen, vooral als het iets is wat we nog leren” (Campitelli & Gobet, 2011; Newell & Rosenbloom, 1981). Om rekencombinaties accuraat en automatisch op te lossen, is het voor leerlingen cruciaal om veel oefenkansen te krijgen in:

• Toepassen van afgeleide-feitenstrategieën
• Ophalen van rekencombinaties (of hun uitkomsten)

3. Rol van herhaling: flitskaarten en werkbladen

Hoewel sommige opvoeders sceptisch zijn over traditionele hulpmiddelen zoals werkbladen en flitskaarten (Golinkoff et al., 2004), kan hun waarde niet worden genegeerd. Empirisch bewijs ondersteunt deze methoden als effectieve manieren voor vloeiende retrieval-oefening (Fuchs et al., 2021; Gersten et al., 2009; Henry & Brown, 2008).

Toch blijft de vervolgvraag: hoe moet deze praktijk worden ingericht? Hoe optimaliseer je retrieval-oefening?

Flitskaarten en werkbladen mogen dan ouderwets lijken, maar als ze goed worden ingezet zijn ze waardevol voor rekenvlotheid.

4. Drie richtlijnen voor effectieve implementatie

Beleid en onderwijspraktijken dienen zich te baseren op inzichten uit ontwikkelingsgerichte cognitieve wetenschap, met name hoe leerlingen robuuste langetermijngeheugen-netwerken vormen. Rekenvaardigheid draait immers om het versterken van verbindingen tussen rekencombinaties en uitkomsten, zodat ze snel en betrouwbaar opgeroepen kunnen worden wanneer nodig. Hoewel er nog veel te ontdekken valt over effectieve rekeninstructie, zijn er drie consensuspunten die bruikbaar zijn voor opvoeders:

1. Geef expliciete instructie: waardeer het proces, niet alleen de uitkomst.
2. Voer goed gestructureerde retrieval-oefening uit: plan bewust oefensessies.
3. Gebruik tijdsdruk als leerlingen nauwkeurig zijn geworden: dit stimuleert snelle reacties.

In de volgende secties worden deze punten verder uitgewerkt, inclusief wat ‘goed gestructureerde’ oefening inhoudt.

Goede rekeninstructie begint bij het proces, niet bij het antwoord.

Effectieve implementatie 1: De kracht van expliciete instructie

Het verwerven van rekenkennis verloopt via een continuüm van incidenteel leren tot expliciete instructie. Expliciete instructie verwijst naar onderwijs waarin wiskundige concepten en vaardigheden op een bewuste en systematische manier worden aangeleerd. Men deelt een complexe vaardigheid op in hanteerbare onderdelen, geeft duidelijke feedback en gebruikt gestructureerde activiteiten met directe uitleg, voordoen en gerichte oefening. Bijvoorbeeld: kinderen profiteren van expliciete uitleg over hoe je optellen kunt gebruiken om aftrekken op te lossen (bij 8 – 4 = –, denk aan: welk getal plus 4 is gelijk aan 8?) of hoe ze het getal 10 kunnen gebruiken bij sommen als 9 + n (bij 9 +5 = –: denk “wat is 10 + 5?” en trek er dan 1 af omdat 9 één minder is dan 10; Baroody et al., 2015).

Dergelijke methodes zijn cruciaal zodat álle leerlingen, zeker degenen die minder snel wiskundige structuren oppikken,  een sterke betekenisvolle basis ontwikkelen en uitgroeien tot rekenvaardige denkers (Fuchs et al., 2021; Powell et al., 2020). Expliciete instructie leidt zowel tot impliciete als expliciete kennis langs het kenniscontinuüm.

Aan de andere kant staat incidenteel leren, dat ongelofelijk betrouwbaar is, maar onbewust plaatsvindt. Mensen leren constant, bijvoorbeeld doordat we patronen signaleren (Saffran & Kirkham, 2018), oorzakelijke verbanden herkennen (Gopnik et al., 2004) en kennis toepassen in sociale situaties (Rogoff, 1991). Kinderen pikken rekenkundige kennis op tijdens spel, koken, feestelijke gebeurtenissen of tv-kijken. Veel van die activiteiten bevatten symbolische getallen, waardoor kinderen intuïtieve, maar beperkte, inzichten krijgen in het base-10-systeem (Mix et al., 2014). De California Department of Education (2023) adviseert om juist van deze incidentiële leermogelijkheden te profiteren. Bijjvoorbeeld via dagelijkse rekenproblemen of “number talks” waarin leerlingen expliciet getallen gebruiken en verkennen (p.80).

Expliciete instructie is onmisbaar om van intuïtieve inzichten te komen tot diep wiskundig begrip.

Waarom alleen ‘onderdompeling’ onvoldoende is

Hoewel omgevingsgerichte ervaringen voor sommige kinderen kunnen leiden tot evoluerende strategieontwikkeling (van tellen via mentale berekening naar retrieval), volstaat onderdompeling vaak niet. Patronen in de omgeving verduidelijken niet altijd de betekenis achter formele wiskundesymbolen (McNeil, 2014). Zonder concrete instructie missen kinderen mogelijk essentiële afgeleide-feitenstrategieën en ontwikkelen ze geen vloeiende retrieval, waardoor ze vasthouden aan inefficiënte strategieën. Soms zelfs tot in volwassenheid (Hecht, 1999; LeFevre et al., 1996). Als blootstelling alleen voldoende was, zouden rekenmachines even effectief zijn als zelf oplossen voor langdurige retentie, maar dat is niet zo (Pyke et al., 2008; Rittle Johnson & Kmicikewycz, 2008).

Deze misvatting (dat rijke omgevingen volstaan) belemmert rekenontwikkeling (Kirschner et al., 2006). Gray (1991) waarschuwde dat zonder expliciete begeleiding veel leerlingen nooit overstappen naar efficiëntere rekenstrategieën en blijven steken in kinderlijke telling (Hasselbring et al., 1988).

Wie rekent op onderdompeling alleen, onderschat de kracht van doelgerichte begeleiding.

Expliciete instructie als sleutel

Deze observaties onderstrepen dat expliciete methoden, zoals tutoren die afgeleide-feiten- of doortelstrategieën voordoen (Baroody et al., 2016; Dowker & Sigley, 2010; Fuchs et al., 2021),  essentieel zijn voor het opbouwen van een rijk netwerk in het langetermijngeheugen. Leerkrachten die deze aanpak hanteren, ondersteunen rekenvaardigheid met opgestelde omgevingen, modelgedrag, begeleiding en gerichte oefening.

Onderdompeling in rijke ervaringen is waardevol voor begrip, maar rekenkundige vlotheid vereist structuur. Die structuur helpt kinderen om impliciete representaties navolgbaar te maken en te verbinden met formele wiskundesymbolen. Expliciete instructie geeft leerlingen duidelijke strategieën en oefenkansen. Dat is leerbevorderlijk voor behoud op lange termijn (Codding et al., 2011). Onderzoek bevestigt dat gestructureerde instructie effectiever is dan minimalistische, ongeleide leersituaties (Kirschner et al., 2006; Mayer, 2004; Morgan et al., 2015).

Een rijke leeromgeving legt de basis, maar het is expliciete instructie die zorgt voor duurzame rekenvaardigheid.

Gestructureerde retrieval-oefening

Oefening maakt onmisbaar onderdeel uit van rekenvaardigheid ontwikkelen. De National Mathematics Panel (NMP, 2008) stelde dat verschillen in rekenvaardigheid tussen kinderen in de VS en hoog scorende landen verklaard kunnen worden door zowel kwantiteit als kwaliteit van oefening. Wanneer efficiënte telstrategieën expliciet zijn voorgedaan, moeten leerlingen die oefenen om sneller en nauwkeuriger te worden. Dit volgt het bekende model: model → coach → fade, gebruikt bij het aanleren van complexe vaardigheden (Collin et al., 1991).

Effectieve implementatie 2: Retrieval practice

Retrieval practice omvat het actief ophalen van feiten of uitkomsten uit het geheugen (een vorm van memorisatie- en herinneringoefeningen). Het vereist dat kinderen rekencombinaties en hun som/producten zelf ophalen, in lijn met Andersons (1992) principes. Dit verschilt van simpele studie, kopiëren, verwijzen naar hulpmiddelen (zoals tafels of voorbeelden) of gebruik van fysieke steunmiddelen (zoals vingers of blokken).

Hoewel dergelijke hulpmiddelen nuttig zijn tijdens vroeg begrip, is het in een later stadium essentieel om zonder hulpmiddel het geheugen te oefenen. Hiermee worden leerlingen klaargestoomd voor hogere rekenvaardigheid waarbij geheugen zonder visuele ondersteuning nodig is.

Waarom retrieval practice?

Oefenen met ophalen uit het geheugen (retrieval practice) wordt breed ondersteund door onderzoek binnen verschillende leeftijdsgroepen en kennisterreinen (Agarwal et al., 2021; McDermott, 2021) en blijkt effectief te zijn voor het bevorderen van rekenkundige vloeiendheid (Burns, 2005; Walker et al., 2013). Wanneer kinderen activiteiten doen waarbij ze zich rekenkundige combinaties, sommen, verschillen, producten en quotiënten moeten herinneren, is de kans groter dat ze deze informatie langdurig onthouden. Retrieval practice versterkt niet alleen het langetermijngeheugen (Roediger & Karpicke, 2006), maar bevordert ook de organisatie van deze kennis binnen het geheugen (Zaromb & Roediger, 2010) en vergemakkelijkt het toepassen van kennis in nieuwe contexten (Rohrer et al., 2010). Daarnaast helpt het bij het ontwikkelen van metacognitieve vaardigheden, zoals zelfmonitoring en zelfregulatie, die essentieel zijn voor effectief leren (Agarwal & Bain, 2019; Kornell & Son, 2009; Thomas & McDaniel, 2007). Louter het herhalen of bestuderen van dezelfde rekenfeiten, zelfs wanneer die informatie conceptueel is geordend (bijvoorbeeld via ‘fact triangles’ of vermenigvuldigingstabellen), is minder effectief dan retrieval practice (Walker et al., 2013).

Retrieval practice is méér dan memoriseren. Het bouwt aan duurzame kennis én metacognitieve vaardigheden.

Hoe geef je retrieval practice vorm?

Inzicht in wat ‘goed gestructureerde’ retrieval practice precies inhoudt, is essentieel om kinderen te helpen rekenkundige vloeiendheid te ontwikkelen. Leerkrachten maken gebruik van uiteenlopende strategieën, zoals kaart- en dobbelspellen, computergames, klassikale vraag-en-antwoord-rondes, flashcards, werkbladen, digitale oefeningen en ‘number talks’ (Bay-Williams & Kling, 2014; Pershan, 2021). Niet al deze werkvormen zijn echter even effectief voor het bevorderen van vloeiendheid. De effectiviteit van retrieval practice hangt af van de mate waarin deze aansluit bij de werking van het geheugen en bij strategieën waarvan bekend is dat ze sterke verbindingen in het langetermijngeheugen opbouwen.

De eerste stap in goed gestructureerde retrieval practice is het kiezen van een ordeningsstructuur die effectief de verbanden en relaties tussen rekenkundige combinaties en hun uitkomsten versterkt. Opties zijn bijvoorbeeld: groeperen op basis van het eerste getal van de opgave (eerst alle sommen die beginnen met 1, dan 2, enzovoorts), op basis van gelijke sommen (bijv. alle opgaven die optellen tot 10), of op basis van rekenregels (zoals 0 × n, 1 × n, 10 × n). Een andere benadering is het groeperen van opgaven met weinig visuele overlap (bijv. 5 × 7 = 35, 6 × 9 = 54, 3 × 6 = 18), om verwarring tussen vergelijkbare opgaven te verminderen (Dotan & Zviran-Ginat, 2022). Ook kan men starten met de moeilijkste feiten (zoals 6 × 8, 7 × 8) om deze gedurende het jaar extra vaak te oefenen, of juist met makkelijke opgaven (zoals 2 × 2, 1 × 6) om vertrouwen en motivatie op te bouwen. Een andere logische keuze is om te beginnen met fundamentele feiten die nodig zijn voor afgeleide strategieën (bijv. voor optellen: 0 + n, 1 + n, 2 + n; voor vermenigvuldigen: 2 × n, 5 × n, 10 × n). Er worden in wiskundeprogramma’s en onderzoeken diverse ordeningsstrategieën gebruikt (o.a. Fuchs et al., 2009; Bay-Williams & Kling, 2014; McNeil et al., 2015). Hoewel sommige studies deze structuren direct met elkaar vergelijken (bijv. Canobi, 2009; Dotan & Zviran-Ginat, 2022), is de ideale structuur nog een empirische vraag. Wel is duidelijk dat oefenen systematisch geordend moet zijn, niet willekeurig. Decennia aan onderzoek tonen aan dat goed georganiseerde kennis in het geheugen het ophalen en gebruiken van die kennis sterk bevordert (Anderson, 1983; Ericsson & Kintsch, 1995).

De volgende stap is het introduceren van opgaven in kleine, behapbare sets. Kinderen starten idealiter met een beperkt aantal opgaven (bijv. drie of vier) en oefenen deze tot ze vloeiend zijn, voordat ze doorgaan naar de volgende set. Deze stapsgewijze aanpak helpt leerlingen om systematisch en geleidelijk kennis op te bouwen. In het regulier onderwijs kan dit bijvoorbeeld met cumulatieve oefening, gebaseerd op het principe van ‘mastery learning’ (Bloom, 1984): pas als een leerling voldoende vloeiend is met één set opgaven (bijv. alle sommen met uitkomst 5), wordt een volgende set toegevoegd (bijv. uitkomst 6), daarna beide sets gecombineerd, enzovoorts. Deze aanpak voorkomt cognitieve overbelasting en maakt intensieve, gerichte oefening mogelijk.

Voor leerlingen die moeite hebben met het vasthouden van kennis, kan ‘incremental rehearsal’ uitkomst bieden. Hierbij worden vooral bekende feiten geoefend, afgewisseld met één nieuw feit, in een verhouding van 9:1. Deze aanpak blijkt bijzonder effectief voor leerlingen met leerproblemen (Burns, 2005; Codding et al., 2010).

Sterke geheugenverbindingen ontstaan wanneer rekenfeiten systematisch én stapsgewijs worden geoefend.

Effectieve implementatie 3: Tijdsdruk toevoegen bij oefenen

Sommige onderwijsprofessionals keren zich tegen alle vormen van rekentaken onder tijdsdruk (bijv. Burns, 1995), omdat zij geloven dat "getimede toetsen zorgen voor het vroeg ontstaan van rekenangst bij leerlingen" (Boaler, 2014, p. 469), ondanks het ontbreken van overtuigend bewijs (Caviola et al., 2017; Maki et al., 2024). Deze misvattingen (vaak gevoed door media en invloedrijke stemmen) maken dat veel leerkrachten terughoudend zijn in het inzetten van tijdsdruk bij het oefenen van rekenkundige vloeiendheid. Zo ontraadt het Californisch ministerie van onderwijs (2023) activiteiten onder tijdsdruk, omdat stress het werkgeheugen zou blokkeren en leren zou belemmeren. Deze terughoudendheid komt voort uit goede bedoelingen en zorg om het welzijn van leerlingen, maar het is belangrijk onderscheid te maken tussen getimede toetsen met hoge inzet en getimede oefenvormen die gebaseerd zijn op bewezen effectieve leeraanpakken.

Onderzoek laat zien dat goed ontworpen getimede activiteiten geen “trauma” veroorzaken, maar juist motiverend kunnen zijn, doordat ze inspelen op het vermogen van ons cognitief systeem om zich aan te passen aan beperkte capaciteit en zo het ontdekken van strategieën stimuleren (vgl. Chajut & Algom, 2003; Simon, 1979).

De afkeer van getimede oefening berust op het misverstand dat elke vorm van stress of spanning per definitie schadelijk is. Dit standpunt mist nuance. In het dagelijks leven moeten we regelmatig omgaan met lichte spanning om langetermijndoelen te bereiken, zoals bij een tandartsbezoek of vaccinatie. Bovendien blijkt uit onderzoek dat het vermijden van stressvolle situaties angst juist kan versterken op de lange termijn (Brown et al., 2023; LeDoux et al., 2017). Gematigde niveaus van stress en spanning tijdens het leren kunnen het leerproces zelfs versterken, doordat het de geheugenvorming ondersteunt (Gagnon & Wagner, 2016; Joëls et al., 2006; Vogel & Schwabe, 2016; Wang et al., 2015). Dit sluit aan bij de wet van Yerkes-Dodson (1908), die stelt dat cognitieve prestaties optimaal zijn bij een gemiddeld niveau van emotionele opwinding. Ook blijkt uit onderzoek dat rekenprestaties het best tot hun recht komen bij hoge intrinsieke motivatie en gematigde rekenangst (Wang et al., 2015).

Tijdsdruk tijdens oefenen is niet per definitie schadelijk. Goed ontworpen taken kunnen juist strategieontwikkeling en motivatie versterken.

Dit is geen pleidooi voor het uitvoeren van belangrijke toetsen onder tijdsdruk. Die uitvoering is namelijk wel problematisch (Gernsbacher et al., 2020) en kan het geheugen en prestaties ondermijnen (Beilock, 2008). Het verschil zit in de context: wanneer getimede oefening op een doordachte manier wordt ingezet tijdens het leerproces (en niet voor toetsing of vergelijking tussen leerlingen) kan het juist waardevol zijn. Het helpt leerlingen om haalbare doelen te stellen en versterkt de geheugenreconstructie van rekenfeiten (vgl. Powell et al., 2022).

De positieve effecten van getimede oefening worden deels verklaard door het principe van ‘desirable difficulties’ (gewilde moeilijkheden), geïntroduceerd door Bjork (1994). Dit houdt in dat het toevoegen van bepaalde moeilijkheden tijdens het leren het cognitieve proces verdiept en het langetermijngeheugen versterkt (Pyc & Rawson, 2009). Wanneer leerlingen onder tijdsdruk oefenen, worden ze aangemoedigd om strategieën te gebruiken die gebaseerd zijn op ophalen of snelle decompositie, in plaats van op langzame telmethoden. Dit stimuleert efficiënter gebruik van het werkgeheugen en draagt bij aan vloeiendheid.

Onderzoek van Fuchs, Geary e.a. (2013) ondersteunt deze inzichten in een experimentele setting. Kinderen van 6-7 jaar met rekenproblemen werden willekeurig toegewezen aan twee vormen van rekentutoring of aan een controlegroep. In beide tutorcondities volgden zij driemaal per week een sessie van 30 minuten gedurende 16 weken. De opbouw van de sessies was identiek, behalve in de laatste 5 minuten: één groep oefende met getimede, snelle rekenopgaven; de andere groep werkte zonder tijdsdruk, met nadruk op doordachte toepassing van rekenprincipes.

De resultaten toonden aan dat beide tutorcondities beter presteerden dan de controlegroep op alle vier de geteste domeinen: rekenkundige vloeiendheid, berekeningen met twee cijfers, getalinzicht en verhaalsommen. Belangrijk is dat de kinderen in de getimede oefengroep beter scoorden op rekenkundige vloeiendheid en berekeningen met twee cijfers dan de kinderen in de groep zonder tijdsdruk. Andere studies bevestigen de positieve effecten van interventies die snelle respons stimuleren (Fuchs et al., 2021), bij zowel jonge kinderen met kaartjes (Dyson et al., 2015) als bij oudere leerlingen met digitale oefeningen (Kanive et al., 2014).

Getimede oefening is nuttig voor geheugenconsolidatie, maar moet pas worden ingezet nadat leerlingen een stevig begrip hebben van getallen, relaties en bewerkingen en dit kunnen koppelen aan formele symbolen. Omdat tijdsdruk bijdraagt aan de versterking van geheugenpaden en het ophalen van gewoonten, adviseren onderzoekers om te wachten met tijdsdruk tot leerlingen een hoge mate van nauwkeurigheid laten zien. Dit komt overeen met de fase van vloeiendheid in de instructiehiërarchie van Haring en Eaton (1978).

Wanneer de nauwkeurigheid nog laag is, bevinden leerlingen zich nog in de ‘acquisitiefase’ en werken ze op een frustratieniveau. In die fase zijn strategieën zoals tellen of oefeningen als ‘cover, copy, and compare’ effectiever (Burns et al., 2010; Codding et al., 2007, 2024). Zodra leerlingen accuraat maar nog traag zijn, zijn ze klaar voor getimede retrieval practice. Leerkrachten moeten dus eerst de nauwkeurigheid van de leerling evalueren voordat tijdsdruk wordt geïntroduceerd. Als een leerling nog geen sommen kan oplossen met feitophalen, afgeleide feiten of efficiënte telstrategieën, dan zal oefenen onder tijdsdruk waarschijnlijk weinig effect hebben.

Tijdsdruk is pas effectief als leerlingen accuraat kunnen rekenen. Zonder begrip leidt het tot frustratie, niet tot vloeiendheid.

Ondersteuning via tutoring en gepersonaliseerd leren

Om leerkrachten te ondersteunen bij het geven van gedifferentieerd onderwijs, wordt aanbevolen om meerdere keren per week korte, vaste tutoringsmomenten op te nemen in het lesrooster van basisschoolleerlingen. Wanneer deze momenten zijn afgestemd op bewezen effectieve strategieën (zoals geadviseerd door de National Partnership for Student Success, z.d.), kunnen ze een van de krachtigste middelen zijn om onderwijsachterstanden te verkleinen (Fryer, 2017; Slavin & Steiner, 2020). Ondersteuning van tutors, onderwijsassistenten of goed getrainde oudervrijwilligers bevordert niet alleen positieve relaties, maar maakt ook persoonlijke aandacht mogelijk, afgestemd op de leerfase van elk kind.

Deze tijd kan worden ingezet voor het verbeteren van rekenkundige vloeiendheid, maar ook voor andere doelen zoals letterkennis, stille of duo-lezen of het oplossen van uitdagende rekenproblemen. Door doelen en vakken per leerling te variëren, wordt op discrete wijze tegemoetgekomen aan uiteenlopende onderwijsbehoeften, in lijn met het principe van gelijke kansen. Een klein moment van gepersonaliseerd leren op een schooldag kan bovendien onderlinge vergelijkingen van prestaties verminderen, die bijvoorbeeld kunnen ontstaan wanneer iedereen tegelijk aan dezelfde fluency-oefening werkt of wanneer leraren gebruikmaken van publieke doelenborden (dit wordt afgeraden).

Voor kinderen zonder toegang tot menselijke tutors kunnen hoogwaardige adaptieve leertechnologieën (zoals Khan Academy Kids of ASSISTments) worden ingezet, mits deze gebaseerd zijn op bewijs en ontwikkeld in samenwerking met cognitiewetenschappers en leerkrachten. Deze technologieën kunnen het oefenen realtime aanpassen aan de individuele leerling (Mettler et al., 2016). Tegelijk is het belangrijk dat gepersonaliseerd leren zorgvuldig wordt ingebed, zodat samenwerking, discussie en reflectie niet ondergesneeuwd raken (zie Tabel 2, aanbeveling 5; vgl. NCTM, 2023b).

Samenvattend: het volledig afwijzen van getimede oefeningen doet geen recht aan de genuanceerde bevindingen uit de psychologische wetenschap. Het beperkt bovendien de kansen voor leerlingen om te profiteren van oefenvormen die hun leerproces kunnen versterken. Kinderen hebben baat bij goed gestructureerde retrieval practice, waarin zij worden gestimuleerd om vlot antwoorden te geven. Dit versterkt hun geheugenstructuren en bevordert efficiëntie.

Een klein moment van gepersonaliseerd leren per dag kan grote verschillen maken, zónder kinderen publiekelijk te vergelijken.

Overdracht maximaliseren en valkuilen vermijden

Nu de belangrijkste evidence-based methoden voor het bevorderen van rekenkundige vloeiendheid zijn besproken, is het te hopen dat onderwijsprofessionals tijd en middelen gaan inzetten om te zorgen dat elke leerling vloeiend leert rekenen. Deze focusverschuiving kan veel opleveren, maar vereist ook alertheid op mogelijke valkuilen. Oefening gericht op automatisering is riskant als de onderliggende rekenkundige structuur of de ontwikkeling van het kind onvoldoende begrepen wordt. Kinderen construeren voortdurend intuïtieve theorieën op basis van patronen en bouwen voort op wat zij al weten. Die voorkennis verandert en wordt telkens herzien en herschreven (Karmiloff-Smith, 1992; Sfard, 1991). Instructies moeten daarom steeds de kernconcepten en vaardigheden versterken die gebaseerd zijn op de grote ideeën in de wiskunde, zoals getalrelaties, bewerkingen en eigenschappen van rekenkundige operaties – en afgestemd zijn op de stappen die een leerling zet richting vloeiendheid.

Leerkrachten in het basisonderwijs staan voor de uitdaging dagelijks les te geven aan een diverse groep leerlingen. Rond het tiende jaar lopen de verschillen sterk uiteen: sommige leerlingen kunnen binnen 100 vlot optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, terwijl anderen nog veel fouten maken bij eenvoudige sommen en gebaat zijn bij het gebruik van materiaal of tekeningen. Differentiëren is moeilijk (Tomlinson et al., 2003) en tijd- en middelengebrek vergroten de kans op ongeplande of minder doordachte werkwijzen. Denk aan willekeurige kaartspelletjes of ‘mad minute drills’ waarbij iedereen (ongeacht leerfase) tegen de klok en elkaar sommen maakt. Dit staat haaks op gestructureerde oefenvormen die gericht zijn op relationeel denken en het verbinden van rekenfeiten, zoals eerder besproken. Zulke shortcut-aanpakken (hoe goedbedoeld ook) geven critici van automatisering en memorisatie juist munitie.

Daarom is een simpele boodschap als “oefen tot automatisering” te beperkt. Het gaat om het samengaan van sterke onderliggende representaties met strategieën die snel én correct tot uitkomsten leiden. De kwaliteit van oefening moet altijd belangrijker zijn dan de kwantiteit. Automatisering nastreven zonder stevige basis of het willekeurig invoeren van tijdsdruk kan negatieve gevolgen hebben.

De kwaliteit van oefening is belangrijker dan de kwantiteit. Alleen doordachte instructie leidt tot duurzame rekenvaardigheid.

Oefenen voor automatisering kent een paradox: enerzijds moeten leerlingen vlot rekenfeiten kunnen ophalen om complexe problemen op te lossen; anderzijds kunnen ze onbedoeld patronen overnemen die leiden tot hardnekkige denkfouten. Die ‘veranderingsweerstand’ is een algemeen cognitief verschijnsel: mensen blijven vaak vasthouden aan bestaande denkwijzen, zelfs als ze nieuwe informatie krijgen. In de psychologie zijn daar verschillende begrippen voor: “habit” (James, 1890), “mental set” (Luchins, 1942), of “fixatie” (Duncker, 1945).

Bij kinderen zie je dit terug in het blijven zoeken op een oude plek naar iets wat verplaatst is (Diamond, 1985), of het overgeneraliseren van werkwoorden (bijv. “goed” in plaats van “ging”). Bij rekenen kan het zich uiten in het blijven toepassen van foutieve strategieën. Bijvoorbeeld denken dat de volgorde er altijd niet toe doet en dit vervolgens verkeerd toepassen bij aftrekken of negatieve getallen. Het gevaar is niet alleen het geven van een fout antwoord, maar ook het versterken van een verkeerde aanpak. Daarom moeten strategieën in context worden aangeleerd, met nadruk op begrip en niet alleen op reproductie. Retrieval practice is waardevol, maar moet doordacht worden ingezet. Het doel van vloeiendheid is om leerlingen flexibel en wendbaar te maken in hun probleemaanpak, zodat ze weten welke strategie wanneer passend is en wanneer ze moeten overschakelen (Hatano & Inagaki, 1984). Er zijn drie veelvoorkomende valkuilen bij automatisering in het rekenonderwijs, die we hieronder bespreken.  

Kinderen bouwen voort op wat ze al denken te weten. Dat kan hen zowel helpen als belemmeren.

Valkuil 1: Whole-number bias (voorkeur voor hele getallen)

Voor veel leerlingen bestaat hun eerste ervaring met rekenen grotendeels uit oefeningen met hele getallen (zoals 1 + 2 = __ of 5 + 5 = __). Deze herhaalde blootstelling kan leiden tot een zogeheten whole-number bias, waarbij kinderen geneigd zijn om principes of strategieën die gelden voor hele getallen verkeerd toe te passen op breuken (Alibali & Sidney, 2015; Ni & Zhou, 2005; Resnick, 1989).

Een veelvoorkomende uiting van deze bias is de foutieve “optel-de-teller-en-noemer”-strategie bij het optellen van breuken. Bij een som als 1/2 + 1/4 = __ geven kinderen met deze bias als antwoord: 2/6, omdat zij de tellers (1 + 1) en de noemers (2 + 4) afzonderlijk optellen (Gesuelli & Jordan, 2024). Ze verwerken breuken niet als gehele getallen, maar zien de teller en noemer als losse optelsommen met hele getallen.

De bias kan zich ook uiten bij het vergelijken van decimale breuken. Geconfronteerd met de vraag: “Wat is groter, 0,25 of 0,5?” antwoorden leerlingen met deze bias foutief “0,25”, omdat zij 25 als groter zien dan 5 (Resnick et al., 2019). De gevolgen van deze bias zijn hardnekkig. Ze blijven vaak bestaan in de adolescentie (Byrnes & Wasik, 1991; Siegler & Pyke, 2013) en kunnen zelfs tot in het hoger onderwijs doorwerken (Bentley & Bossé, 2018; Newton, 2008).

De kern van het probleem is dat leerlingen procedures met hele getallen hebben geautomatiseerd zonder dat ze echt inzicht hebben in de onderliggende concepten. Dat blijkt ook uit observatiestudies en computermodellen, die aantonen dat kinderen geleerd gedrag generaliseren zonder het conceptueel te begrijpen (Braithwaite et al., 2017, 2019; Braithwaite & Siegler, 2024).

Om deze bias te voorkomen of te verminderen, is het essentieel om vloeiendheid in hele getallen op te bouwen met begrip, zoals in dit artikel is besproken. Enkele studies suggereren ook dat het parallel aanleren van informele breukinzicht samen met het leren van hele getallen kan helpen om de whole-number bias te beperken (Dyson et al., 2020; Powell, 2023; Viegut et al., 2023).

Automatisering zonder begrip maakt kinderen kwetsbaar voor hardnekkige denkfouten, zoals de whole-number bias.

Valkuil 2: Operationele kijk op rekenproblemen

In veel rekenmethodes wordt het gelijkteken simpelweg aangeduid als “is-teken” en worden opgaven benoemd als “getalszinnen” (NCTM, 2019; Powell, 2012; Cathcart et al., 2013). Rekenproblemen staan meestal in de vorm waarbij de bewerking links staat en het antwoord rechts (bijv. 3 + 4 = __). Dit lijkt op het lezen van een zin van links naar rechts (Li et al., 2008; McNeil et al., 2006).

Hoewel het logisch lijkt om rekenen te vergelijken met taal (een bekend domein) kan dit leiden tot misvattingen. Wanneer kinderen gevraagd wordt wat het gelijkteken betekent, antwoorden ze vaak: “de som uitrekenen” of “het antwoord opschrijven” (Baroody & Ginsburg, 1983; Jones et al., 2012; McNeil & Alibali, 2005a; Stephens et al., 2013).

Wanneer ze een opgave krijgen als: 3 + 4 + 5 = 3 + __ vullen ze vaak 15 in, omdat ze gewend zijn om gewoon alle getallen bij elkaar op te tellen (Falkner et al., 1999; McNeil & Alibali, 2005b). Dit wijst op een beperkte en rigide denkwijze die is ontstaan door herhaalde oefening met een smal type sommen. Als die patronen eenmaal zijn ingeslepen, blijven ze doorwerken tot in de adolescentie en zelfs in de wiskunde-les (Fyfe et al., 2020; Knuth et al., 2006).

Wiskundedocenten willen juist dat kinderen het grote idee van wiskundige gelijkwaardigheid begrijpen (Blanton et al., 2015) en niet alleen procedures uit het hoofd leren (NCTM, 2023a). Onderzoek laat zien dat het risico op deze valkuil kleiner wordt wanneer:

• De basisconcepten zorgvuldig worden opgebouwd (Devlin et al., 2023),
• Concrete representaties expliciet worden verbonden aan abstracte notaties (Fyfe et al., 2015),
• En wanneer rekenoefeningen zorgvuldig zijn opgebouwd om een sterk, verbonden langetermijngeheugen te ondersteunen dat relationeel denken stimuleert (Chesney et al., 2014, 2018; Davenport et al., 2023; Hornburg et al., 2021; Jacobs et al., 2007; McNeil et al., 2012, 2015).

Een praktijkvoorbeeld hiervan is het programma ICUE (McNeil et al., 2019), dat al deze componenten integreert en gratis beschikbaar is als open educatief materiaal: https://icue.nd.edu.

Sterk rekenonderwijs verbindt concrete representaties aan abstracte notaties en stimuleert het inzicht in gelijkwaardigheid.

Valkuil 3: Onderdrukking van betekenisverlening

Wanneer rekenonderwijs wordt gekenmerkt door puur memoriseren en een onophoudelijke focus op automatisering, zonder dat er gewerkt wordt aan een stevige basis of het uiteindelijke doel van vloeiendheid, namelijk het ondersteunen van geavanceerd wiskundig probleemoplossen, kunnen leerkrachten onbedoeld een socioculturele context creëren die het wiskundig begrip van leerlingen ondermijnt. Activiteiten die uitsluitend gericht zijn op het onthouden van rekenfeiten met als enige doel het correct produceren van sommen en producten, kunnen het beeld van wat wiskunde is, vernauwen (Chapman, 2021) en het proces van betekenisverlening ontmoedigen (Kirkland & McNeil, 2021). Deze beperkte visie, waarin automatisering centraal staat, kan juist het rijke begrip van getallen, relaties en bewerkingen onderdrukken (in plaats van hierop voort te bouwen) terwijl juist die concepten in de vroege jaren essentieel zijn om te ontwikkelen (Cobb, 1987).

Dit soort onderwijsactiviteiten kan leiden tot een kloof tussen procedurele en conceptuele kennis. Schoenfeld (1991) beschreef treffend hoe zulke discrepanties ertoe kunnen leiden dat leerlingen zich losmaken van het werkelijke doel van wiskunde en afhaken. Na verloop van tijd wordt deelname aan rekenlessen gereduceerd tot het routinematig uitvoeren van berekeningen met de getallen die in de opgave staan, zonder enige aandacht voor de context (Verschaffel et al., 2010). Dit wordt een norm: de leerkracht geeft een opgave, leerlingen gebruiken alle getallen uit die opgave en geven een enkel numeriek antwoord op basis van het huidige lessendoel (Brousseau, 1997; Jimenez & Verschaffel, 2014; Yackel & Cobb, 1996).

Als leerkrachten hier niet alert op zijn, gaan leerlingen alle wiskundige problemen benaderen vanuit dit beperkte denkkader en geven zij onsamenhangende antwoorden op realistische problemen die niet binnen dat patroon passen (Boaler, 1993; Palm, 2008; Stacey & MacGregor, 1999). Het meedoen aan deze beperkte onderwijspraktijk is wat onderzoekers in het wiskundeonderwijs aanduiden als het opschorten van betekenisverlening (Greer, 1997; Palm, 2008; Reusser & Stebler, 1997a; Schoenfeld, 1992). Precies dit fenomeen baart critici van het memoriseren van rekenfeiten zorgen (Boaler, 2015; NCTM, 2023a).

Als kinderen enkel leren rekenen zonder context of begrip, leren ze af om wiskunde te zien als iets dat ergens over gaat.

Een genuanceerde benadering: automatisering én begrip

Deze potentiële valkuilen (whole-number bias, een te operationele kijk op rekenproblemen en het onderdrukken van betekenisverlening) laten zien hoe complex het is om automatisering als doel van rekenoefening te benadrukken. Hoewel veel onderzoek de voordelen van dit type oefening ondersteunt, is de manier waarop deze wordt geïmplementeerd van cruciaal belang. Dit onderstreept onze centrale stelling: het is belangrijk om rekenvaardigheid en de discussie daarover te benaderen vanuit een ontwikkelingspsychologisch perspectief. Hoewel het lijkt alsof we zowel automatisering/memorisatie als betekenisverlening bepleiten, is het onze bedoeling om een duidelijker, op bewijs gebaseerd kader te schetsen dat de hoe en waarom uitlegt. We willen dieper gaan dan de simplistische "beide kanten zijn belangrijk"-benadering.

Leraren staan voor een dubbele opdracht: zij moeten het begrip van leerlingen ten aanzien van getallen, relaties en operaties opbouwen én verdiepen en deze basiskennis verbinden aan formele symboliek. Wanneer deze fundamenten eenmaal beginnen te wortelen (idealiter rond de leeftijd van 6 of 7 jaar) dienen leerkrachten expliciete, goed gestructureerde ophaaloefeningen te integreren, waaronder korte sessies met tijdsdruk, om automatisering te bevorderen.

De kunst van goed onderwijs ligt hier in het doordacht organiseren van oefening, het afstemmen van instructie op de leerfase van de leerling, het consistent benadrukken van het doel achter memorisatie en het inzetten van automatisering als middel om reflectie en verdiepend begrip te stimuleren (Rittle-Johnson et al., 2021). Vroege fundamenten en vaardigheid in rekenfeiten zijn geen opeenvolgende stappen, maar onderling verbonden componenten in het langetermijngeheugen die elkaar versterken en ondersteunen.

Deze aanpak helpt om valkuilen te vermijden die kunnen leiden tot een star of eenzijdig beeld van wiskunde. Onze hoop is dat deze analyse van rekenkundige vloeiendheid richting geeft aan een ontwikkelingsgerichte aanpak die verder gaat dan het platgeslagen idee dat zowel memorisatie als begrip nodig zijn. In plaats daarvan bepleiten we de opbouw en versterking van vroege fundamenten binnen een ontwikkelingsgericht raamwerk, om leerlingen te begeleiden naar een rekenkundige vloeiendheid die niet alleen accuraat en automatisch is, maar ook ingebed is in een samenhangend netwerk dat voortdurend voortbouwt op én bijdraagt aan een diepgaand wiskundig begrip.

Vloeiend rekenen vraagt meer dan oefenen; het vraagt een onderwijskundig kompas dat richting geeft aan wat, wanneer en waarom we automatiseren.

Conclusie

Het doel van dit artikel was om voorbij het beperkte kader van “memoriseren” versus “denkstrategieën” te gaan, door te laten zien hoe deze twee elementen elkaar juist wederzijds versterken in de ontwikkeling van rekenkundige vloeiendheid. We hebben rekenkundige vloeiendheid niet alleen gedefinieerd als het snel en accuraat oplossen van basisbewerkingen, maar als het doen van zulke bewerkingen binnen een mentaal raamwerk dat begrip ondersteunt. Door de cognitieve structuren en processen te analyseren die essentieel zijn voor het ontwikkelen van rekenvaardigheid, hebben we laten zien hoe inzichten uit de leerpsychologie een waardevolle bron kunnen zijn voor leraren. Deze inzichten stellen hen in staat om kinderen effectief te begeleiden bij het opbouwen van een robuust en samenhangend netwerk van rekenkundige kennis. Daarom bevelen we aan om ontwikkelingsgerichte cognitieve wetenschappen op te nemen in de opleiding van leerkrachten (Tabel 1, Aanbeveling 1).

Op basis van theorieën uit de ontwikkelingsgerichte cognitieve psychologie en met nadruk op hoe menselijk geheugen werkt, hebben we verduidelijkt dat rekenkundige vloeiendheid zich niet ontwikkelt via een lineair of stapsgewijs pad. In plaats daarvan ontwikkelt het zich via een interactief proces, waarin elk stukje verworven kennis of strategie een fundament vormt voor verdere, meer complexe leerprocessen. Door goed gestructureerde oefening en mogelijkheden voor reflectie wordt deze kennis vervolgens geïntegreerd in een breed, elkaar versterkend kennisnetwerk van wiskunde.

Rekenkundige vloeiendheid ontstaat niet uit losse stappen, maar uit een interactief leerproces waarin begrip, strategie en oefening elkaar voortdurend versterken.

Onze analyse richtte zich op de interactie tussen het werkgeheugen en het langetermijngeheugen en op het belang van vroege numerieke representaties bij kinderen als basis voor vloeiendheid in symbolische rekenkunde. Daarom bevelen we aan om brede bewustwording te stimuleren over vroege mijlpalen in rekenontwikkeling (Tabel 1, Aanbeveling 2) en om voortgangsbewaking voor vroege numerieke mijlpalen te implementeren (Tabel 2, Aanbeveling 1). We beschreven hoe begrip van getallen, relaties en bewerkingen (gezamenlijk aangeduid als “early number sense”) dient als hefboom voor vloeiendheid. Omgekeerd versterkt vaardigheid in symbolische rekenkunde deze reeds aanwezige, niet-symbolische getalskennis. Symbolische vloeiendheid ondersteunt op haar beurt het leren van complexere wiskunde, die (mits goed begrepen) terugwerkt om de rekenkundige basis verder te verstevigen.

Deze elementen worden over tijd opgebouwd via een wederkerig en interactief proces, ondersteund door bekwame leerkrachten die strategieën en concepten expliciet en duidelijk onderwijzen (Tabel 2, Aanbeveling 2). Beheersing van de basisvaardigheden in de vroege fase maakt cognitieve ruimte vrij voor complexer begrip. Dit verdiept en verfijnt op zijn beurt weer de basisvaardigheden. Ontwikkeling langs het impliciet–expliciet continuüm is dus niet simpelweg een verschuiving van eenvoudig naar complex of van belastend naar automatisch. Het gaat juist om de dynamische interactie tussen deze twee. Deze wisselwerking creëert een cyclisch en versterkend proces waarin vaardigheid in eenvoudige taken het begrip van complexere opgaven ondersteunt en dat begrip vervolgens de basiskennis herstructureert en versterkt.

Het impliciet–expliciet continuüm in rekenontwikkeling is geen eenrichtingsverkeer, maar een dynamische wisselwerking die begrip verdiept en basiskennis herstructureert.

We hopen dat onze focus op deze wederkerige ontwikkeling langs het impliciet–expliciet continuüm de synergie duidelijk heeft gemaakt tussen tijdgebonden ophaaloefeningen en denkstrategieën bij het ontwikkelen van rekenkundige vloeiendheid. Hoewel sommige leraren gereserveerd zijn over tijdsgebonden oefeningen, laten wij zien dat, mits doordacht ingezet en gecombineerd met andere technieken die begrip stimuleren en valkuilen vermijden, deze aanpak zowel effectief als noodzakelijk is voor kwalitatief hoogwaardig rekenonderwijs. Goed gestructureerde ophaaloefeningen dragen bij aan robuuste en flexibele rekenkundige vloeiendheid (Tabel 2, Aanbeveling 3) en tijdgebonden oefening verstevigt deze vloeiendheid (Tabel 2, Aanbeveling 4), zodat kinderen niet alleen rekenfeiten kennen, maar ook aanverwante bewerkingen snel en moeiteloos kunnen toepassen.

Deze aanpak is essentieel om cognitieve ruimte vrij te maken voor metacognitieve reflectie, redeneren over rekenkundige principes en het genereren van nieuwe strategieën. Het is belangrijk dat er in de samenleving meer bewustwording komt over het feit dat goed gestructureerde, tijdgebonden ophaaloefeningen voordelig zijn voor leerlingen die een hoge mate van nauwkeurigheid hebben bereikt (Tabel 1, Aanbeveling 3).

Effectief rekenonderwijs vraagt om de synergie tussen snel ophalen en diep begrijpen. Beide zijn onmisbaar voor duurzame rekenkundige ontwikkeling.

Uiteindelijk biedt dit artikel ouders, leraren en beleidsmakers een beter gedefinieerde routekaart voor het bevorderen van rekenkundige vloeiendheid bij kinderen. Bij het ontwikkelen van deze vloeiendheid moeten we rekening houden met de manier waarop instructiemethoden aansluiten op onze kennis over geheugenopbouw en het versterken van verbindingen in het langetermijngeheugen. Kinderen moeten een stevige basis ontwikkelen in de vroege jaren. Zodra deze fundamenten beginnen te wortelen, dienen zij mogelijkheden te krijgen om deel te nemen aan goed gestructureerde ophaaloefeningen en tijdgebonden sessies, binnen een ondersteunende leeromgeving die aansluit bij hun persoonlijke leerdoelen (Tabel 1, Aanbeveling 4).

Deze technieken mogen niet als losse methoden worden gezien, maar moeten worden beschouwd als onderdeel van een bredere strategie gericht op het opbouwen van een diepgaand en rijk begrip van rekenkunde, binnen een gemeenschap van lerenden. Daarom pleiten we voor het inruimen van tijd voor vergelijking, discussie en reflectie (Tabel 2, Aanbeveling 5).

We hopen dat de inzichten die we hier hebben gedeeld, een bijdrage leveren aan rekenonderwijs dat leerlingen niet alleen voorziet van automatisering en begrip, maar hen ook in staat stelt om weloverwogen keuzes te maken in het dagelijks leven, academisch en professioneel vooruit te komen en positief bij te dragen aan onze samenleving. Door lessen uit de leerwetenschappen toe te passen, kunnen we ervoor zorgen dat alle kinderen toegang krijgen tot de kracht van wiskunde.

Wanneer automatisering, begrip en reflectie hand in hand gaan, ontstaat rekenonderwijs dat niet alleen prestaties verhoogt, maar ook perspectief voor elk kind opent.

Dit artikel is een vertaling van het Engelstalige artikel 'What the Science of Learning Teaches Us About Arithmetic Fluency' (2025) van Nicole M. McNeil, Nancy C. Jordan, Alexandria A. Viegut en Daniel Ansari.

Referenties 

• Advocates for the Science of Math. (2021). Common misconceptions: Productive struggle causes more robust understanding and learning. https://www.thescienceofmath.com/misconceptions-productive-struggle-causes-more-robust-understanding-and-learning
• Agarwal P. K., Bain P. M. (2019). Powerful teaching: Unleash the science of learning. Jossey-Bass. Crossref.
• Agarwal P. K., Nunes L. D., Blunt J. R. (2021). Retrieval practice consistently benefits student learning: A systematic review of applied research in schools and classrooms. Educational Psychology Review, 33(4), 1409–1453. Crossref. Web of Science.
• Alibali M. W., Goldin-Meadow S. (1993). Gesture-speech mismatch and mechanisms of learning: What the hands reveal about a child’s state of mind. Cognitive Psychology, 25(4), 468–523. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Alibali M. W., Sidney P. G. (2015). Variability in the natural number bias: Who, when, how, and why. Learning and Instruction, 37, 56–61. Crossref. Web of Science.
• Altmann E. M., Gray W. D. (2002). Forgetting to remember: The functional relationship of decay and interference. Psychological Science, 13(1), 27–33. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Anderson J. R. (1983). A spreading activation theory of memory. Journal of Verbal Learning and Verbal Behavior, 22(3), 261–295. Crossref. Web of Science.
• Anderson J. R. (1992). Automaticity and the ACT theory. The American Journal of Psychology, 105(2), 165–180. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Anderson J. R. (1996). ACT: A simple theory of complex cognition. American Psychologist, 51(4), 355–365. Crossref. Web of Science.
• Anderson J. R. (2002). Spanning seven orders of magnitude: A challenge for cognitive modeling. Cognitive Science, 26(1), 85–112. Crossref. Web of Science.
• Ardila A. (1993). On the origins of calculation abilities. Behavioural Neurology, 6(2), 89–97. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Arnon I., Cottrill J., Dubinsky E., Oktaç A., Fuentes S. R., Trigueros M., Weller K. (2014). APOS theory: A framework for research and curriculum development in mathematics education. Springer. Crossref.
• Ashcraft M. H. (1982). The development of mental arithmetic: A chronometric approach. Developmental Review, 2(3), 213–236. Crossref. Web of Science.
• Ashcraft M. H. (1992). Cognitive arithmetic: A review of data and theory. Cognition, 44(1–2), 75–106. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Ashcraft M. H. (1995). Cognitive psychology and simple arithmetic: A review and summary of new directions. Mathematical Cognition, 1(1), 3–34.
• Ashcraft M. H., Christy K. S. (1995). The frequency of arithmetic facts in elementary texts: Addition and multiplication in grades 1-6. Journal for Research in Mathematics Education, 26(5), 396–421. Crossref. Web of Science.
• Aunio P., Niemivirta M. (2010). Predicting children’s mathematical performance in grade one by early numeracy. Learning and Individual Differences, 20(5), 427–435. Crossref. Web of Science.
• Baddeley A. D. (1983). Working memory. Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences, 302, 311–324. Crossref. Web of Science.
• Baddeley A. D. (2003). Working memory and language: An overview. Journal of Communication Disorders, 36(3), 189–208. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Bagnoud J., Dewi J., Castel C., Mathieu R., Thevenot C. (2021). Developmental changes in size effects for simple tie and non-tie addition problems in 6- to 12-year-old children and adults. Journal of Experimental Child Psychology, 201, 104987. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Bahrick H. P., Bahrick L. E., Bahrick A. S., Bahrick P. E. (1993). Maintenance of foreign language vocabulary and the spacing effect. Psychological Science, 4(5), 316–321. Crossref. Web of Science.
• Bailey D. H., Duncan G. J., Cunha F., Foorman B. R., Yeager D. S. (2020). Persistence and fade-out of educational-intervention effects: Mechanisms and potential solutions. Psychological Science in the Public Interest, 21(2), 55–97. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Bailey D., Duncan G. J., Odgers C. L., Yu W. (2017). Persistence and fadeout in the impacts of child and adolescent interventions. Journal of Research on Educational Effectiveness, 10(1), 7–39. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Bailey D. H., Duncan G. J., Watts T., Clements D. H., Sarama J. (2018). Risky business: Correlation and causation in longitudinal studies of skill development. American Psychologist, 73(1), 81–94. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Ball D. L., Ferrini-Mundy J., Kilpatrick J., Milgram R. J., Schmid W., Schaar R. (2005). Reaching for common ground in K-12 mathematics education. Notices of the AMS, 52(9), 1055–1058.
• Baroody A. J. (1987). Children’s mathematical thinking: A developmental framework for preschool, primary, and special education teachers. Teachers College Press.
• Baroody A. J. (1994). An evaluation of evidence supporting fact-retrieval models. Learning and Individual Differences, 6(1), 1–36. Crossref. Web of Science.
• Baroody A. J. (1999). Children’s relational knowledge of addition and subtraction. Cognition and Instruction, 17(2), 137–175. Crossref. Web of Science.
• Baroody A. J. (2006). Why children have difficulties mastering the basic number combinations and how to help them. Teaching Children Mathematics, 13(1), 22–31. Crossref.
• Baroody A. J., Eiland M. D., Purpura D. J., Reid E. E. (2012). Fostering at-risk kindergarten children’s number sense. Cognition and Instruction, 30(4), 435–470. Crossref. Web of Science.
• Baroody A. J., Gannon K. E. (1984). The development of the commutativity principle and economical addition strategies. Cognition and Instruction, 1(3), 321–339. Crossref.
• Baroody A. J., Ginsburg H. P. (1983). The effects of instruction on children’s understanding of the “equals” sign. The Elementary School Journal, 84(2), 199–212. Crossref. Web of Science.
• Baroody A. J., Ginsburg H. P. (2013). The relationship between initial meaningful and mechanical knowledge of arithmetic. In Hiebert J. (Ed.), Conceptual and procedural knowledge (pp. 75–112). Routledge.
• Baroody A. J., Ginsburg H. P., Waxman B. (1983). Children’s use of mathematical structure. Journal for Research in Mathematics Education, 14(3), 156–168. Crossref.
• Baroody A. J., Lai M. (2022). The development and assessment of counting-based cardinal number concepts. Educational Studies in Mathematics, 111, 185–205. Crossref. Web of Science.
• Baroody A. J., Purpura D. J., Eiland M. D., Reid E. E. (2015). The impact of highly and minimally guided discovery instruction on promoting the learning of reasoning strategies for basic add-1 and doubles combinations. Early Childhood Research Quarterly, 30, 93–105. Crossref. Web of Science.
• Baroody A. J., Purpura D. J., Eiland M. D., Reid E. E., Paliwal V. (2016). Does fostering reasoning strategies for relatively difficult basic combinations promote transfer by K-3 students? Journal of Educational Psychology, 108(4), 576–591. Crossref. Web of Science.
• Baroody A. J., Tiilikainen S. H. (2003). Two perspectives on addition development. In Baroody A. J., Dowker A. (Eds.), The development of arithmetic concepts and skills: Constructing adaptive expertise (pp. 75–125). Lawrence Erlbaum Associates.
• Bartelet D., Vaessen A., Blomert L., Ansari D. (2014). What basic number processing measures in kindergarten explain unique variability in first-grade arithmetic proficiency? Journal of Experimental Child Psychology, 117, 12–28. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Barth H., La Mont K., Lipton J., Dehaene S., Kanwisher N., Spelke E. (2006). Non-symbolic arithmetic in adults and young children. Cognition, 98(3), 199–222. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Batchelor S., Inglis M., Gilmore C. (2015). Spontaneous focusing on numerosity and the arithmetic advantage. Learning and Instruction, 40, 79–88. Crossref. Web of Science.
• Bay-Williams J. M., Kling G. (2014). Enriching addition and subtraction fact mastery through games. Teaching Children Mathematics, 21(4), 238–247. Crossref.
• Beilock S. L. (2008). Math performance in stressful situations. Current Directions in Psychological Science, 17(5), 339–343. Crossref. Web of Science.
• Bentley B., Bossé M. J. (2018). College students’ understanding of fraction operations. International Electronic Journal of Mathematics Education, 13(3), 233–247.
• Berko J. (1958). The child’s learning of English morphology. WORD, 14(2–3), 150–177. Crossref. Web of Science.
• Berkowitz M., Stern E. (2018). Which cognitive abilities make the difference? Predicting academic achievements in advanced STEM studies. Journal of Intelligence, 64(4), Article 48. Crossref
• Bermejo V. (1996). Cardinality development and counting. Developmental Psychology, 32(2), 263–268. Crossref. Web of Science.
• Bjork R. A. (1994). Memory and metamemory considerations in the training of human beings. In Metcalfe J., Shimamura A. P. (Eds.), Metacognition: Knowing about knowing (pp. 185–205). MIT Press. Crossref.
• Blanton M., Stephens A., Knuth E., Gardiner A. M., Isler I., Kim J.-S. (2015). The development of children’s algebraic thinking: The impact of a comprehensive early algebra intervention in third grade. Journal for Research in Mathematics Education, 46(1), 39–87. Crossref. Web of Science.
• Bloom B. S. (1984). The 2 sigma problem: The search for methods of group instruction as effective as one-to-one tutoring. Educational Researcher, 13(6), 4–16. Crossref.
• Boaler J. (1993). The role of contexts in the mathematics classroom: Do they make mathematics more “real”? For the Learning of Mathematics, 13(2), 12–17.
• Boaler J. (2014). Research suggests timed tests cause math anxiety. Teaching Children Mathematics, 20(8), 469–474. Crossref.
• Boaler J. (2015, January 28). Fluency without fear: Research evidence on the best ways to learn math facts. YouCubed. https://www.youcubed.org/evidence/fluency-without-fear
• Bouck E. C., Satsangi R., Park J. (2018). The concrete–representational–abstract approach for students with learning disabilities: An evidence-based practice synthesis. Remedial and Special Education, 39(4), 211–228. Crossref. Web of Science.
• Boyle R. W., Farreras I. G. (2015). The effect of calculator use on college students’ mathematical performance. International Journal of Research in Education and Science, 1(2), 95–100. Crossref.
• Braem S., Egner T. (2018). Getting a grip on cognitive flexibility. Current Directions in Psychological Science, 27(6), 470–476. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Braithwaite D. W., Leib E. R., Siegler R. S., McMullen J. (2019). Individual differences in fraction arithmetic learning. Cognitive Psychology, 112, 81–98. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Braithwaite D. W., Pyke A. A., Siegler R. S. (2017). A computational model of fraction arithmetic. Psychological Review, 124(5), 603–625. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Braithwaite D. W., Siegler R. S. (2024). A unified model of arithmetic with whole numbers, fractions, and decimals. Psychological Review, 131(2), 431–455. Crossref
• Braithwaite D. W., Tian J., Siegler R. S. (2017). Do children understand fraction addition? Developmental Science, 21(4), Article e12601. Crossref
• Brannon E. M., Merritt D. J. (2011). Evolutionary foundations of the approximate number system. In Dehaene S., Brannon E. M. (Eds.), Space, time and number in the brain (pp. 207–224). Academic Press. Crossref.
• Bray T. M. (2009). Confronting the shadow education system: What government policies for what private tutoring? United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization; International Institute for Educational Planning.
• Brousseau G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Kluwer Academic Publishers.
• Brown V. M., Price R., Dombrovski A. Y. (2023). Anxiety as a disorder of uncertainty: Implications for understanding maladaptive anxiety, anxious avoidance, and exposure therapy. Cognitive, Affective & Behavioral Neuroscience, 23(3), 844–868. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Bruner J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Harvard University Press.
• Bryant D. P., Bryant B. R., Roberts G., Vaughn S., Pfannenstiel K. H., Porterfield J., Gersten R. (2011). Early numeracy intervention program for first-grade students with mathematics difficulties. Exceptional Children, 78(1), 7–23. Crossref. Web of Science.
• Burns M. (1995). In my opinion: Timed tests. Teaching Children Mathematics, 1, 408–409. Crossref.
• Burns M. K. (2005). Using incremental rehearsal to increase fluency of single-digit multiplication facts with children identified as learning disabled in mathematics computation. Education and Treatment of Children, 28(3), 237–249.
• Burns M. K., Codding R. S., Boice C. H., Lukito G. (2010). Meta-analysis of acquisition and fluency math interventions with instructional and frustration level skills: Evidence for a skill-by-treatment interaction. School Psychology Review, 39(1), 69–83. Crossref. Web of Science.
• Butler F. M., Miller S. P., Crehan K., Babbitt B., Pierce T. (2003). Fraction instruction for students with mathematics disabilities: Comparing two teaching sequences. Learning Disabilities Research & Practice, 18(2), 99–111. Crossref.
• Butterworth B. (1999). The mathematical brain. Macmillan.
• Bye J. K., Harsch R. M., Varma S. (2022). Decoding fact fluency and strategy flexibility in solving one-step algebra problems: An individual differences analysis. Journal of Numerical Cognition, 8(2), 281–294. Crossref.
• Byrnes J. P., Wasik B. A. (1991). Role of conceptual knowledge in mathematical procedural learning. Developmental Psychology, 27(5), 777–786. Crossref. Web of Science.
• California Department of Education. (2023). Mathematics framework for California public schools: Kindergarten through Grade 12. https://www.cde.ca.gov/ci/ma/cf
• Campbell J. I. D., Austin S. (2002). Effects of response time deadlines on adults’ strategy choices for simple addition. Memory & Cognition, 30(6), 988–994. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Campbell J. I. D. (1987). Production, verification, and priming of multiplication facts. Memory & Cognition, 15(4), 349–364. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Campbell J. I. D. (1995). Mechanisms of simple addition and multiplication: A modified network-interference theory and simulation. Mathematical Cognition, 1(2), 121–164.
• Campbell J. I. D., Alberts N. M. (2009). Operation-specific effects of numerical surface form on arithmetic strategy. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 35(4), 999–1011. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Campbell J. I. D., Graham D. J. (1985). Mental multiplication skill: Structure, process, and acquisition. Canadian Journal of Psychology / Revue canadienne de psychologie, 39(2), 338–366. Crossref. Web of Science.
• Campbell J. I. D., Parker H. R., Doetzel N. L. (2004). Interactive effects of numerical surface form and operand parity in cognitive arithmetic. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 30(1), 51–64. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Campbell J. I. D., Robert N. D. (2008). Bidirectional associations in multiplication memory: Conditions of negative and positive transfer. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 34(3), 546–555. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Campbell J. I. D., Timm J. C. (2000). Adults’ strategy choices for simple addition: Effects of retrieval interference. Psychonomic Bulletin & Review, 7(4), 692–699. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Campbell J. I. D., Xue Q. (2001). Cognitive arithmetic across cultures. Journal of Experimental Psychology: General, 130(2), 299–315. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Campitelli G., Gobet F. (2011). Deliberate practice: Necessary but not sufficient. Current Directions in Psychological Science, 20(5), 280–285. Crossref. Web of Science.
• Cannon J., Ginsburg H. P. (2008). “Doing the math”: Maternal beliefs about early mathematics versus language learning. Early Education and Development, 19(2), 238–260. Crossref. Web of Science.
• Canobi K. H. (2009). Concept-procedure interactions in children’s addition and subtraction. Journal of Experimental Child Psychology, 102(2), 131–149. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Cantlon J. F. (2012). Math, monkeys, and the developing brain. Proceedings of the National Academy of Sciences, 109(Suppl. 1), 10725–10732. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Carey S. (2004). Bootstrapping & the origin of concepts. Daedalus, 133(1), 59–68. Crossref. Web of Science.
• Carey S. (2009). Where our number concepts come from. Journal of Philosophy, 106(4), 220–254. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Carey S. (2014). On learning new primitives in the language of thought: Reply to Rey. Mind & Language, 29, 133–166. Crossref. Web of Science.
• Carey S., Barner D. (2019). Ontogenetic origins of human integer representations. Trends in Cognitive Sciences, 23(10), 823–835. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Carpenter S. K., Vul E. (2011). Delaying feedback by three seconds benefits retention of face–name pairs: The role of active anticipatory processing. Memory & Cognition, 39(7), 1211–1221. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Carpenter T. P., Fennema E., Franke M. L. (1996). Cognitively guided instruction: A knowledge base for reform in primary mathematics instruction. The Elementary School Journal, 97(1), 3–20. Crossref. Web of Science.
• Carpenter T. P., Hiebert J., Moser J. M. (1983). The effect of instruction on children’s solutions of addition and subtraction word problems. Educational Studies in Mathematics, 14, 55–72. Crossref.
• Carpenter T. P., Moser J. M. (1984). The acquisition of addition and subtraction concepts in grades one through three. Journal for Research in Mathematics Education, 15(3), 179–202. Crossref.
• Carr M., Alexeev N. (2011). Fluency, accuracy, and gender predict developmental trajectories of arithmetic strategies. Journal of Educational Psychology, 103(3), 617–631. Crossref. Web of Science.
• Case R. (1985). Intellectual development: Birth to adulthood. Academic Press.
• Case R., Okamoto Y., Griffin S., McKeough A., Bleiker C., Henderson B., Stephenson K. M., Siegler R. S., Keating D. P. (1996). The role of central conceptual structures in the development of children’s thought. Monographs of the Society for Research in Child Development, 61(1/2), 1–295. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Castles A., Rastle K., Nation K. (2018). Ending the reading wars: Reading acquisition from novice to expert. Psychological Science in the Public Interest, 19(1), 5–51. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Cathcart G. S., Pothier Y. M., Vance J. H., Bezuk N. S. (2013). Learning mathematics in elementary and middle schools. Pearson.
• Caviola S., Carey E., Mammarella I. C., Szucs D. (2017). Stress, time pressure, strategy selection and math anxiety in mathematics: A review of the literature. Frontiers in Psychology, 8, 1488. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. (2006). Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis. Psychological Bulletin, 132(3), 354–380. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Cepeda N. J., Vul E., Rohrer D., Wixted J. T., Pashler H. (2008). Spacing effects in learning: A temporal ridgeline of optimal retention. Psychological Science, 19(11), 1095–1102. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Chajut E., Algom D. (2003). Selective attention improves under stress: implications for theories of social cognition. Journal of Personality and Social Psychology, 85(2), 231–248. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Chapman K. (2021). “Wait—it’s a math problem, right?”: Negotiating school frames in out-of-school places. Educational Studies in Mathematics, 109, 661–676. Crossref. Web of Science.
• Chard D. J., Clarke B., Baker S., Otterstedt J., Braun D., Katz R. (2005). Using measures of number sense to screen for difficulties in mathematics: Preliminary findings. Assessment for Effective Intervention, 30(2), 3–14. Crossref.
• Chase W. G., Simon H. A. (1973). Perception in chess. Cognitive Psychology, 4(1), 55–81. Crossref. Web of Science.
• Cheng D., Chen D., Chen Q., Zhou X. (2022). Effects of attention on arithmetic and reading comprehension in children with attention-deficit hyperactivity disorder. Current Psychology, 42, 17087–17096. Crossref. Web of Science.
• Cheng Z. J. (2012). Teaching young children decomposition strategies to solve addition problems: An experimental study. The Journal of Mathematical Behavior, 31(1), 29–47. Crossref.
• Chesney D. L., Matthews P. G. (2013). Knowledge on the line: Manipulating beliefs about the magnitudes of symbolic numbers affects the linearity of line estimation tasks. Psychonomic Bulletin & Review, 20, 1146–1153. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Chesney D. L., McNeil N. M., Brockmole J. R., Kelley K. (2013). An eye for relations: Eye-tracking indicates long-term negative effects of operational thinking on understanding of math equivalence. Memory & Cognition, 41(7), 1079–1095. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Chesney D. L., McNeil N. M., Matthews P. G., Byrd C. E., Petersen L. A., Wheeler M. C., Fyfe E. R., Dunwiddie A. E. (2014). Organization matters: Mental organization of addition knowledge relates to understanding math equivalence in symbolic form. Cognitive Development, 30, 30–46. Crossref. Web of Science.
• Chesney D. L., McNeil N. M., Petersen L. A., Dunwiddie A. E. (2018). Arithmetic practice that includes relational words promotes understanding of symbolic equations. Learning and Individual Differences, 64, 104–112. Crossref. Web of Science.
• Cheung P, Ansari D. (2020). Early understanding of number. In Hupp S., Jewell J. (Eds.), The encyclopedia of child and adolescent development. Wiley. Crossref.
• Cheung P., Ansari D. (2021). Cracking the code of place value: The relationship between place and value takes years to master. Developmental Psychology, 57(2), 227–240. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Cheung P., Toomey M., Jiang Y. H., Stoop T. B., Shusterman A. (2022). Acquisition of the counting principles during the subset-knower stages: Insights from children’s errors. Developmental Science, 25(4), Article e13219. Crossref
• Chi M. T. H. (1976). Short-term memory limitations in children: Capacity or processing deficits? Memory & Cognition, 4, 559–572. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Ching B. H.-H., Wu X. (2019). Concreteness fading fosters children’s understanding of the inversion concept in addition and subtraction. Learning and Instruction, 61, 148–159. Crossref. Web of Science.
• Christensen C. A., Cooper T. J. (1992). The role of cognitive strategies in the transition from counting to retrieval of basic addition facts. British Educational Research Journal, 18(1), 37–44. Crossref.
• Ciccione L., Dehaene S. (2020). Grouping mechanisms in numerosity perception. Open Mind, 4, 102–118. Crossref
• Clarke B., Doabler C. T., Smolkowski K., Baker S. K., Fien H., Strand Cary M. (2016). Examining the efficacy of a tier 2 kindergarten mathematics intervention. Journal of Learning Disabilities, 49(2), 152–165. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Clements D. H. (1999). “Concrete” manipulatives, concrete ideas. Contemporary Issues in Early Childhood, 1, 45–60. Crossref.
• Clements D. H., Sarama J. (2014). The importance of the early years. In Slavin R. E. (Ed.), Science, technology & mathematics (STEM) (pp. 5–9). Corwin. Crossref.
• Clements D. H., Sarama J., Spitler M. E., Lange A. A., Wolfe C. B. (2011). Mathematics learned by young children in an intervention based on learning trajectories: A large-scale cluster randomized trial. Journal for Research in Mathematics Education, 42(2), 127–166. Crossref. Web of Science.
• Cobb P. (1987). Information-processing psychology and mathematics education: A constructivist perspective. The Journal of Mathematical Behavior, 6(1), 3–40.
• Codding R. S., VanDerHeyden A., Chehayeb R. (2024). Using data to intensify math instruction: An evaluation of the instructional hierarchy. Remedial and Special Education, 45(3), 173–188. Crossref. Web of Science.
• Codding R., VanDerHeyden A. M., Martin R. J., Perrault L. (2016). Manipulating treatment dose: Evaluating the frequency of a small group intervention targeting whole number operations. Learning Disabilities Research & Practice, 31, 208–220. Crossref. Web of Science.
• Codding R. S., Archer J., Connell J. (2010). A systematic replication and extension of using incremental rehearsal to improve multiplication skills: An investigation of generalization. Journal of Behavioral Education, 19(1), 93–105. Crossref.
• Codding R. S., Burns M. K., Lukito G. (2011). Meta-analysis of mathematic basic-fact fluency interventions: A component analysis. Learning Disabilities Research & Practice, 26(1), 36–47. Crossref. Web of Science.
• Codding R. S., Chan-Iannetta L., Palmer M., Lukito G. (2009). Examining a classwide application of cover-copy-compare with and without goal setting to enhance mathematics fluency. School Psychology Quarterly, 24(3), 173–185. Crossref. Web of Science.
• Codding R. S., Shiyko M., Russo M., Birch S., Fanning E., Jaspen D. (2007). Comparing mathematics interventions: Does initial level of fluency predict intervention effectiveness? Journal of School Psychology, 45(6), 603–617. Crossref. Web of Science.
• Cohen L. B., Marks K. S. (2002). How infants process addition and subtraction events. Developmental Science, 5(2), 186–201. Crossref. Web of Science.
• Cohen N. J., Squire L. R. (1980). Preserved learning and retention of pattern-analyzing skill in amnesia: Dissociation of knowing how and knowing that. Science, 210(4466), 207–210. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Collins A., Brown J. S., Holum A. (1991). Cognitive apprenticeship: Making thinking visible. American Educator, 15(3), 6–11, 38–46.
• Collins A. M., Loftus E. F. (1975). A spreading-activation theory of semantic processing. Psychological Review, 82(6), 407–428. Crossref. Web of Science.
• Cooney J. B., Swanson H. L., Ladd S. F. (1988). Acquisition of mental multiplication skill: Evidence for the transition between counting and retrieval strategies. Cognition and Instruction, 5(4), 323–345. Crossref. Web of Science.
• Cordes S., Brannon E. M. (2008). Quantitative competencies in infancy. Developmental Science, 11(6), 803–808. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Corral D., Carpenter S. K., Clingan-Siverly S. (2021). The effects of immediate versus delayed feedback on complex concept learning. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 74(4), 786–799. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Cowan N. (2001). The magical number 4 in short-term memory: A reconsideration of mental storage capacity. Behavioral and Brain Sciences, 24(1), 87–114. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Cowan N. (2008). What are the differences between long-term, short-term, and working memory? Progress in Brain Research, 169, 323–338. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Cowan R. (2003). Does it all add up? Changes in children’s knowledge of addition combinations, strategies, and principles. In Baroody A. J., Dowker A. (Eds.), The development of arithmetic concepts and skills: Constructing adaptive expertise (pp. 35–74). Lawrence Erlbaum Associates.
• Crooks N. M., McNeil N. M. (2009). Increased practice with “set” problems hinders performance on the water jar task. Proceedings of the Annual Meeting of the Cognitive Science Society, 31(31), 643–648.
• Darling-Hammond L., Schachner A. C. W., Wojcikiewicz S. K., Flook L. (2024). Educating teachers to enact the science of learning and development. Applied Developmental Science, 28(1), 1–21. Crossref. Web of Science.
• Davenport J. L., Kao Y., Johannes K., Hornburg C. B., McNeil N. M. (2023). Improving children’s understanding of mathematical equivalence: An efficacy study. Journal of Research on Educational Effectiveness, 16(4), 615–642. Crossref. Web of Science.
• Davis H., Pérusse R. (1988). Numerical competence in animals: Definitional issues, current evidence, and a new research agenda. Behavioral and Brain Sciences, 11(4), 561–579. Crossref. Web of Science.
• Deans for Impact. (2015). The science of learning.
• Dehaene S., Cohen L. (1995). Towards an anatomical and functional model of number processing. Mathematical Cognition, 1, 83–120.
• Delazer M., Benke T. (1997). Arithmetic facts without meaning. Cortex, 33(4), 697–710. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Delazer M., Ischebeck A., Domahs F., Zamarian L., Koppelstaetter F., Siedentopf C. M., Kaufmann L., Benke T., Felber S. (2005). Learning by strategies and learning by drill-evidence from an FMRI study. NeuroImage, 25(3), 838–849. Crossref. PubMed. Web of Science.
• De Smedt B., Noël M.-P., Gilmore C., Ansari D. (2013). How do symbolic and non-symbolic numerical magnitude processing skills relate to individual differences in children’s mathematical skills? A review of evidence from brain and behavior. Trends in Neuroscience and Education, 2(2), 48–55. Crossref.
• De Smedt B., Verschaffel L., Ghesquière P. (2009). The predictive value of numerical magnitude comparison for individual differences in mathematics achievement. Journal of Experimental Child Psychology, 103(4), 469–479. Crossref. PubMed. Web of Science.
• DeStefano D., LeFevre J. (2004). The role of working memory in mental arithmetic. European Journal of Cognitive Psychology, 16(3), 353–386. Crossref. Web of Science.
• De Visscher A., Noël M.-P. (2014). The detrimental effect of interference in multiplication facts storing: Typical development and individual differences. Journal of Experimental Psychology: General, 143(6), 2380–2400. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Devlin B. (2021). Subdomains of early number sense and their relation to mathematics learning and achievement [Doctoral dissertation, University of Delaware]. UDSpace Institutional Repository. https://udspace.udel.edu/items/8fcfe762-a8bf-4268-a7b3-1471004a521a
• Devlin B. L., Hornburg C. B., McNeil N. M. (2023). Kindergarten predictors of formal understanding of mathematical equivalence in second grade. Developmental Psychology, 59(8), 1426–1439. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Devlin B. L., Jordan N. C., Klein A. (2022). Predicting mathematics achievement from subdomains of early number competence: Differences by grade and achievement level. Journal of Experimental Child Psychology, 217, 105354. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Diamond A. (1985). Development of the ability to use recall to guide action, as indicated by infants’ performance on AB. Child Development, 56(4), 868–883. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Didino D., Knops A., Vespignani F., Kornpetpanee S. (2015). Asymmetric activation spreading in the multiplication associative network due to asymmetric overlap between numerosities semantic representations? Cognition, 141, 1–8. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Dienes Z., Perner J. (1999). A theory of implicit and explicit knowledge. Behavioral and Brain Sciences, 22(5), 735–808. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Dotan D., Zviran-Ginat S. (2022). Elementary math in elementary school: The effect of interference on learning the multiplication table. Cognitive Research: Principles and Implications, 7(1), 101. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Douglas A. A., Rittle-Johnson B. (2024). Parental early math support: The role of parental knowledge about early math development. Early Childhood Research Quarterly, 66, 124–134. Crossref. Web of Science.
• Dowker A. (2009). Use of derived fact strategies by children with mathematical difficulties. Cognitive Development, 24(4), 401–410. Crossref. Web of Science.
• Dowker A., Sigley G. (2010). Targeted interventions for children with arithmetical difficulties. British Journal of Educational Psychology Monograph Series, 11, 65–81.
• Duhon G. J., Mesmer E. M., Atkins M. E., Greguson L. A., Olinger E. S. (2009). Quantifying intervention intensity: A systematic approach to evaluating student response to increasing intervention frequency. Journal of Behavioral Education, 18(2), 101–118. Crossref.
• Duhon G. J., Poncy B. C., Krawiec C. F., Davis R. E., Ellis-Hervey N., Skinner C. H. (2022). Toward a more comprehensive evaluation of interventions: A dose-response curve analysis of an explicit timing intervention. School Psychology Review, 51(1), 84–94. Crossref. Web of Science.
• Duncan G. J., Dowsett C. J., Claessens A., Magnuson K., Huston A. C., Klebanov P., Pagani L. S., Feinstein L., Engel M., Brooks-Gunn J., Sexton H., Duckworth K., Japel C. (2007). School readiness and later achievement. Developmental Psychology, 43(6), 1428–1446. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Duncker K. (1945). On problem-solving (Lees L. S., Trans.). Psychological Monographs, 58(5), 1–113. Crossref. Web of Science.
• Dunlosky J., Rawson K. A., Marsh E. J., Nathan M. J., Willingham D. T. (2013). Improving students’ learning with effective learning techniques: Promising directions from cognitive and educational psychology. Psychological Science in the Public Interest, 14(1), 4–58. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Dyson N., Jordan N. C., Beliakoff A., Hassinger-Das B. (2015). A kindergarten number-sense intervention with contrasting practice conditions for low-achieving children. Journal for Research in Mathematics Education, 46(3), 331–370. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Dyson N. I., Jordan N. C., Glutting J. (2013). A number sense intervention for low-income kindergartners at risk for mathematics difficulties. Journal of Learning Disabilities, 46(2), 166–181. Crossref. PubMed. Web of Science.
• Dyson N. I., Jordan N. C., Rodrigues J., Barbieri C., Rinne L. (2020). A fraction sense intervention for sixth graders with or at risk for mathematics difficulties. Remedial and Special Education, 41(4), 244–254. Crossref. Web of Science.

Dit is het eerste deel van de referentielijst. Voor de volledige referentielijst, klik hier.