Rekenen (2): Cognitieve processen en structuren bij rekenen

Rekenen vormt een van de kerngebieden van het basisonderwijs. Het houdt veel meer in dan het leren uitvoeren van sommen. Goed rekenonderwijs helpt kinderen om betekenis te geven aan getallen, verbanden te ontdekken en te redeneren. Achter ogenschijnlijk eenvoudige bewerkingen gaan complexe cognitieve processen schuil: begrijpen, automatiseren, onthouden, toepassen en reflecteren.

In de afgelopen decennia is steeds meer duidelijk geworden hoe sterk rekenontwikkeling samenhangt met vroege ervaringen, taalgebruik, geheugenopbouw en instructiekwaliteit. Kennis uit de ontwikkelingspsychologie, cognitieve wetenschap en onderwijsonderzoek laat zien dat kinderen niet alleen leren door oefenen, maar vooral door begrijpen wat ze doen en waarom. Effectief rekenonderwijs zoekt daarom voortdurend de balans tussen begrip, strategie en vloeiendheid.

Deze artikelenreeks brengt actuele inzichten uit onderzoek en praktijk samen. Elk deel verkent een aspect van rekenontwikkeling: van het ontstaan van getalbegrip en subiteren tot strategieontwikkeling, vloeiendheid, breuken, verhoudingen en probleemoplossing. Steeds staat één vraag centraal: hoe kunnen we rekenonderwijs zo vormgeven dat het bijdraagt aan duurzaam begrip en vaardigheid? Het doel is om leraren en opleiders te ondersteunen met kennis die niet alleen theoretisch juist is, maar ook praktisch toepasbaar in de klas. 

Dit artikel vormt het tweede deel van een bewerkte Nederlandse vertaling van het Engelstalige artikel 'What the Science of Learning Teaches Us About Arithmetic Fluency' (2025), geschreven door Nicole M. McNeil, Nancy C. Jordan, Alexandria A. Viegut en Daniel Ansari. Lees hier deel 1. Meer weten? Schrijf je dan in voor het gratis kennisdossier 'rekenen' van de Wij-leren Academie. 

Welke cognitieve structuren en processen liggen ten grondslag aan rekenvaardigheid?

De kern van rekenvaardigheid ligt in hoe kennis in het brein wordt opgeslagen en opgeroepen. Daarbij speelt vooral het langetermijngeheugen een centrale rol. Elk belangrijk model van rekenvaardigheid laat zien dat rekenfeiten met de getallen van 0 tot en met 9 (zoals 3 + 4 = 7 of 8 × 6 = 48) in dit geheugen zijn opgeslagen (Ashcraft, 1992; Campbell, 1995; Siegler & Jenkins, 1989).

Dat geheugen vormt een netwerk van onderling verbonden kennis. Het bevat zowel declaratieve feiten (weten dat 6 + 7 = 13) als geautomatiseerde procedures (zoals het snel herkennen van patronen of het toepassen van regels; Fayol & Thevenot, 2012; Uittenhove et al., 2016). Hoe goed leerlingen rekenfeiten kunnen oproepen hangt af van de hoeveelheid oefening (Anderson, 1992; Baroody, 1994) en van de sterkte en organisatie van de verbindingen binnen dit netwerk (Ashcraft, 1995; Didino et al., 2015). Hoe vaker en gevarieerder kinderen oefenen hoe steviger deze verbindingen worden en hoe sneller zij sommen kunnen herkennen en oplossen.

"Automatisering van rekenvaardigheid is geen trucje, maar het resultaat van gestructureerde opslag in het langetermijngeheugen."

Hoewel we de interne representatie van een rekenfeit of de denkstappen naar een som of product niet direct kunnen waarnemen, gebruiken psychologen modellen, slimme experimenten en geavanceerde onderzoeksmethoden om te begrijpen welke cognitieve structuren en processen bij rekenvaardigheid betrokken zijn. Uit dit onderzoek komen twee belangrijke lessen naar voren. Ten eerste is investeren in het ontwikkelen van rekenvaardigheid absoluut de moeite waard. Ten tweede zijn sommige instructiemethoden aantoonbaar effectiever dan andere.

Om die conclusies goed te kunnen plaatsen, is het nodig eerst te begrijpen hoe geheugen en cognitieve ontwikkeling werken. Deze kennis helpt te verklaren waarom rekenvaardigheid een katalysator vormt voor complex wiskundig denken en waarom bepaalde vormen van instructie beter werken dan andere. We gaan uit van het idee dat inzicht in leer- en geheugenmechanismen leraren helpt om hun onderwijs bewuster en effectiever vorm te geven.

Een belangrijke beleidsimplicatie is dat lerarenopleidingen, ook die gericht zijn op het jonge kind, meer zouden moeten putten uit ontwikkelingsgerichte cognitieve wetenschap (zie Tabel 1; vgl. Clements et al., 2011; Deans For Impact, 2015; Laski et al., 2013; Parks & Wager, 2015). Een stevig begrip van deze kennis stelt leraren in staat om de vele onderwijsmodellen, methoden en hypes beter te beoordelen en te doorzien.

Om die lessen goed te kunnen begrijpen, geeft dit artikel achtergrondinformatie over kernverschijnselen in geheugen- en cognitieve ontwikkeling. Deze informatie is essentieel om te begrijpen hoe rekenvaardigheid als katalysator werkt voor hogere wiskundige probleemoplossing en waarom bepaalde instructiebenaderingen meer effect hebben dan andere. Wij gaan uit van de aanname dat inzicht in de leer- en geheugenmechanismen ons helpt om onderwijspraktijken kritisch te beoordelen.

Een beleidsimplicatie van dit artikel is dan ook dat lerarenopleidingen (inclusief programma’s voor het jonge kind) gebaat zouden zijn bij een grotere inbedding van ontwikkelingsgerichte cognitieve wetenschap (zie Tabel 1; vgl. Clements et al., 2011; Deans For Impact, 2015; Laski et al., 2013; Parks & Wager, 2015). Dit zou het vermogen van leraren versterken om het eindeloze debat over lesmethoden en onderwijshypes beter te doorgronden en op waarde te schatten.

Weten hoe kinderen leren, is essentieel om te begrijpen wat werkt in het rekenonderwijs.

Tabel 1. Beleidsaanbevelingen

Het menselijk denken: beperkt en flexibel

Om te begrijpen hoe rekenvaardigheid zich ontwikkelt, of eigenlijk hoe vloeiendheid in welke complexe vaardigheid dan ook ontstaat, moeten we rekening houden met twee basisprincipes van het menselijk denken.

Ten eerste is ons denkvermogen beperkt: we kunnen maar een beperkte hoeveelheid informatie tegelijk verwerken en doen dat in een beperkt tempo (Marois & Ivanoff, 2005; Schneider & Shiffrin, 1977). Ten tweede is ons denken flexibel: we kunnen ons aanpassen aan veranderende doelen en taken (Braem & Egner, 2018; Siegler, 2006; Smith, 2005). Volgens informatieverwerkingstheorieën ontstaat cognitieve ontwikkeling juist uit de wisselwerking tussen deze twee eigenschappen, namelijk een beperkte capaciteit en een groot aanpassingsvermogen (Palmer & Kimchi, 1986; Simon, 1979).

Deze theorieën beschrijven cognitie als tegelijk begrensd en aanpasbaar. Ze doen dit door te onderscheiden tussen structuren die bepalen binnen welke grenzen we denken en processen die ons in staat stellen flexibel te handelen. Voor het begrijpen van rekenvaardigheid zijn vooral twee cognitieve structuren van belang: het werkgeheugen en het langetermijngeheugen. Daarnaast spelen enkele kernprocessen een belangrijke rol, zoals chunking (het groeperen van informatie), automatisering en metacognitieve reflectie. Sommige modellen onderscheiden kortetermijngeheugen en werkgeheugen (Baddeley, 2003; Cowan, 2008), maar in deze artikelenreeks ligt de nadruk op het werkgeheugen omdat dit zowel het vasthouden als het bewerken van informatie mogelijk maakt.

"Chunking, automatisering en reflectie zijn de motoren achter het vloeiend leren rekenen."

De werking van het werkgeheugen

Het werkgeheugen is de plek waar actief denken plaatsvindt (Baddeley, 1983). Hier wordt informatie verwerkt die we zien of horen, worden nieuwe strategieën bedacht en wordt nieuwe kennis opgebouwd (Raghubar et al., 2010). Het wordt vaak omschreven als een ruimte waarin informatie tijdelijk wordt vastgehouden en bewerkt, maar eigenlijk is het beter te zien als een voortdurend veranderend activatiepatroon van kennis waarmee we op dat moment bezig zijn (Cowan, 2008; Ericsson & Kintsch, 1995). Het werkgeheugen koppelt nieuwe informatie uit de omgeving aan wat al is opgeslagen in het langetermijngeheugen.

Een voorbeeld maakt dit duidelijk. Wanneer we een wiskundeprobleem op papier zien, combineren we de visuele informatie van de cijfers en symbolen met wat we al weten over hun betekenis. Zo kunnen we het probleem als geheel begrijpen (DeStefano & LeFevre, 2004; Raghubar et al., 2010). De moeilijkheid is dat het werkgeheugen een beperkte capaciteit en verwerkingssnelheid heeft. We kunnen dus niet alle relevante informatie uit het langetermijngeheugen tegelijk activeren of gebruiken.

"De kracht van het werkgeheugen ligt in integratie, zijn zwakte in capaciteit."

Overweeg het volgende rekenprobleem: 7 + 5 + 6 + 3 + 5 + 4 = —

Om dit op te lossen, moet het werkgeheugen eerst de visuele informatie verwerken: de getallen, plustekens en het gelijkheidsteken. Daarna activeert het langetermijngeheugen de kennis die nodig is om te begrijpen wat er gevraagd wordt en om een geschikte strategie te kiezen. Kijk eens naar het aantal elementen in deze som: drie woorden, zes getallen, vijf plustekens en één gelijkheidsteken. Dat is veel informatie om tegelijk vast te houden. Zelfs wanneer het probleem zichtbaar blijft, kan het werkgeheugen maar ongeveer vier tot zeven elementen tegelijk actief verwerken. Oorspronkelijk werd gedacht dat dit bereik 7 ± 2 was (Miller, 1956), maar latere onderzoeken laten zien dat de grens dichter bij vier ligt (Cowan, 2001). Hoe dan ook, deze som bevat meer onderdelen dan het werkgeheugen in één keer aankan.

Daarom is de samenwerking tussen werkgeheugen en langetermijngeheugen zo belangrijk bij het oplossen van rekenproblemen. Het langetermijngeheugen slaat kennis op die in de loop van de tijd is opgebouwd en kan die informatie oproepen wanneer dat nodig is. Omdat dit geheugen in principe geen duidelijke limiet heeft, helpt het de beperkingen van het werkgeheugen te compenseren (Chi, 1976). Het werkgeheugen functioneert dus niet los van het langetermijngeheugen, maar in voortdurende wisselwerking ermee. Het activeert opgeslagen kennis, koppelt die aan nieuwe informatie en maakt zo denken en begrijpen mogelijk.

"Een schijnbaar simpele optelsom overschrijdt al snel de grenzen van ons werkgeheugen."

Wanneer een leerling naar de som 7 + 5 + 6 + 3 + 5 + 4 = — kijkt, kan een kind met rekenvaardigheid patronen herkennen en gebruikmaken van inzicht in wiskundige principes zoals commutativiteit (de volgorde van getallen mag wisselen) en associativiteit (getallen mogen in andere groepjes worden samengenomen). Zo kan de som worden herstructuurd in betekenisvolle groepjes, bijvoorbeeld (7 + 3), (6 + 4) en (5 + 5). Binnen enkele seconden verandert het probleem van zes losse optellingen in drie handige groepjes van 10. Het antwoord, 30, wordt dan met veel minder mentale inspanning gevonden. Een som als 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = — kan zelfs nog sneller worden opgelost, ondanks het gelijke aantal cijfers, omdat deze direct herkend kan worden als 2 × 6.

Rekenvaardigheid betekent ook flexibiliteit: het kunnen kiezen van een strategie die past bij de situatie. In het eerste voorbeeld kan een leerling ervoor kiezen om van links naar rechts op te tellen, terwijl in het tweede voorbeeld tellen in tweetallen efficiënter is. Zonder deze vaardigheid blijft er maar één optie over: cijfer voor cijfer optellen. Dat kost meer tijd en vraagt veel meer van het werkgeheugen.

"Vaardigheid is niet alleen snelheid, maar ook strategische flexibiliteit."

Samenwerking tussen werkgeheugen en langetermijngeheugen

Ebbinghaus (1885/1964) probeerde ooit de onderdelen van het geheugen van elkaar te scheiden, maar ontdekte uiteindelijk dat het werkgeheugen niet los kan worden gezien van het langetermijngeheugen. Dat is juist een voordeel, want de kennis die in het langetermijngeheugen is opgeslagen maakt het mogelijk dat het werkgeheugen in grotere gehelen kan denken, zogenaamde chunks, in plaats van met losse elementen (Ericsson et al., 1980). Wanneer we kleinere stukjes informatie samenvoegen tot betekenisvolle gehelen die we als één geheel kunnen gebruiken, kunnen we met veel meer informatie tegelijk werken.

Een klassiek voorbeeld van chunking laat dit goed zien: het is veel makkelijker om vier woorden te onthouden (hek, omheining, tapijt, oppervlakte) dan dezelfde 24 letters in willekeurige volgorde (e, r, t, a, f, p, c ...).

De bekende studie van Chase en Simon (1973) over schaakexpertise maakt dit principe duidelijk. Ze ontdekten dat ervaren schakers, die veel kennis hebben van schaakstellingen, in één oogopslag meer stukken op het bord konden onthouden dan beginners, maar alleen wanneer de stukken op realistische manieren waren opgesteld. De experts gebruikten hun langetermijnkennis van schaakpatronen om de stukken te groeperen in betekenisvolle configuraties. De kwaliteit van deze langetermijnrepresentaties, hun sterkte en organisatie, is cruciaal om ze effectief te kunnen gebruiken in actief denken.

Hetzelfde geldt voor rekenontwikkeling. De kwaliteit van de numerieke representaties die kinderen op jonge leeftijd, tussen twee en zeven jaar, vormen, is bepalend voor hoe goed zij later rekenfeiten kunnen opslaan en oproepen uit het geheugen.

"Chunking is de geheime kracht van het geheugen: meer onthouden door slim te groeperen."

Impliciete en expliciete kennis in het langetermijngeheugen

Voordat we hier dieper op ingaan, is het belangrijk om twee aspecten van het langetermijngeheugen te introduceren die in deze artikelenreeks regelmatig terugkomen: impliciete en expliciete kennis (Dienes & Perner, 1999; Karmiloff-Smith, 1992).

Expliciete kennis bestaat uit herinneringen die bewust kunnen worden opgeroepen, actief in het werkgeheugen worden vastgehouden, kunnen worden gemanipuleerd en via taal of symbolen kunnen worden gedeeld. Deze vorm van kennis wordt vaak gelijkgesteld aan declaratief geheugen, kennis waarvan de inhoud kan worden verwoord.

Daartegenover staat impliciete kennis, die vooral samenhangt met procedureel geheugen. Deze kennis is niet bewust oproepbaar of in woorden uit te drukken. Ze omvat goed ingesleten vaardigheden zoals fietsen, gewoonten, geconditioneerde reacties (Cohen & Squire, 1980; Wood & Rünger, 2016) en herinneringen die onbewust worden geactiveerd, zoals geprimede of zwak gerepresenteerde kennis (Tulving & Schacter, 1990; Garber et al., 1998; Munakata, 2001).

Niet alle details zijn even belangrijk, maar het kernpunt is dit: kennis kan zich bewegen op een continuüm van impliciet naar expliciet.

"Kennis beweegt tussen impliciet voelen en expliciet weten."

Van expliciete kennis naar automatisering

De processen in de wisselwerking tussen werkgeheugen en langetermijngeheugen zorgen ervoor dat kennis kan verschuiven langs het continuüm van impliciet naar expliciet en weer terug. Deze verschuivingen maken denken efficiënter, stimuleren cognitieve ontwikkeling en helpen om kennis te herstructureren tot steeds verfijndere mentale representaties. In de wiskunde vindt conceptuele ontwikkeling vaak plaats langs dit continuüm (Karmiloff-Smith, 1992; zie Figuur 1). Bij de ontwikkeling van rekenvaardigheid is vooral de beweging van expliciete naar impliciete kennis goed onderzocht. Dit proces heet proceduralisering en leidt uiteindelijk tot automatisering.

Kinderen beginnen meestal met een expliciete, bewuste procedure of strategie die veel denkcapaciteit vraagt. Door herhaling en oefening verandert deze aanpak in een automatische, minder bewuste handeling. Automatisering versterkt de onderliggende representaties en maakt cognitieve hulpbronnen zoals het werkgeheugen vrij voor andere denkprocessen, zoals het opnemen van nieuwe informatie, het herkennen van patronen, reflecteren en het ontwikkelen van nieuwe strategieën.

"Automatisering is een sleutelmechanisme waarmee het brein complexiteit beheersbaar maakt."

Figuur 1. Ontwikkeling langs het impliciet–expliciet continuüm.

De overgang van expliciete naar impliciete kennis is een kernonderdeel van het ontwikkelen van rekenvaardigheid, en veel leraren zullen dit proces direct herkennen. Neem bijvoorbeeld een kind dat leert optellen. In het begin telt het 3 + 4 uit door drie vingers op de ene hand en vier vingers op de andere te tellen en daarna alles samen te tellen tot zeven (Carpenter & Moser, 1984; Siegler & Jenkins, 1989). Deze aanpak is traag en vraagt veel inspanning, maar vormt een belangrijk startpunt.

Na verloop van tijd en met voldoende oefening gaat het tellen sneller: “één, twee, drie... vier, vijf, zes, zeven.” Vervolgens schakelen veel kinderen over op een efficiëntere strategie, zoals beginnen bij het grootste getal (vier in dit geval) en daar het kleinere aantal bij optellen: “vijf, zes, zeven” (Baroody, 1987). Deze aanpak kan worden gezien als een vroege vorm van impliciete chunking. Het kind maakt dan gebruik van zijn groeiende begrip van kardinaliteit (het besef dat een getal een hoeveelheid vertegenwoordigt), commutativiteit (de volgorde van de getallen mag wisselen) en optellen als proces om onnodige stappen te vermijden en de som te herstructureren tot een kleiner aantal betekenisvolle gehelen.

"Elke vlotte optelsom begon ooit met tellen op de vingers."

Door toenemende efficiëntie worden kinderen doorgaans sneller en maken ze minder fouten bij het oplossen van sommen als 3 + 4. Daardoor komen cognitieve hulpbronnen vrij voor ander denkwerk (Geary et al., 1991; zie echter Hopkins et al., 2020). Sommige theorieën stellen dat echte automatisering pas optreedt wanneer het proces is veranderd in een directe, éénstaps-ophaling uit het langetermijngeheugen, waarbij de oplossing niet meer bewust hoeft te worden aangestuurd (bijvoorbeeld 3 + 4 zien en meteen “zeven” weten; Logan, 1988).

Het bredere verschijnsel van cognitieve ontwikkeling van inspannend naar automatisch functioneren, ook wel verkregen automatisme genoemd, komt in meerdere theoretische kaders terug (Anderson, 1992, 1996; Collins & Loftus, 1975; McClelland et al., 1995; Rumelhart et al., 1986).

Ongeacht de theorie is er brede overeenstemming dat het vrijmaken van cognitieve ruimte een kenmerk is van vaardig handelen (LeFevre & Kulak, 1994). Dit principe bevordert wiskundig denken en vormt een fundament in bekende cognitieve kaders, zoals Andersons decompositiethese (2002) en Swellers cognitive load theory (2022), maar ook in specifieke modellen van rekenvaardigheid, zoals het SCADS-model van Shrager en Siegler (1998) en het netwerk-ophalingsmodel van Ashcraft (1982, 1995).

"Vaardigheid ontstaat wanneer denkstappen worden vervangen door directe kennis."

De voordelen en uitdagingen van mentale automatisering

De genoemde inzichten over automatisering ondersteunen het brede gebruik van rekenmachines in het basisonderwijs (NCTM, 2015; Reys & Arbaugh, 2001). Toch heeft mentale oefening duidelijke voordelen boven het uitbesteden van berekeningen aan een rekenmachine. Wanneer leerlingen actief oefenen, versterken zij de onderlinge verbindingen in hun geheugennetwerk (Pyke et al., 2008; Rittle-Johnson & Kmicikewycz, 2008; vgl. Gardony et al., 2015; Henkel, 2014; Risko & Gilbert, 2016).

Meer dan dertig jaar geleden formuleerde Anderson (1992) een aantal principes over automatisering die nog steeds actueel zijn. Deze principes helpen te begrijpen waarom rekenvaardigheid ontstaat en wat de effecten ervan zijn:

• Consistente oefening verhoogt niet alleen de snelheid en nauwkeurigheid van uitvoering (Ericsson et al., 1993), maar maakt vaardigheden ook veerkrachtiger tegen geheugenverval (Altmann & Gray, 2002).

• Bepaalde vormen van oefening zijn effectiever voor het ontwikkelen van automatisering, zoals retrieval practice (het actief ophalen van kennis uit het geheugen; Roediger & Karpicke, 2006) en spaced practice (het spreiden van leeractiviteiten over tijd; Bahrick et al., 1993; Cepeda et al., 2006).

• Goed geoefende vaardigheden creëren efficiëntie, waardoor leerlingen beter in staat zijn om meerdere taken tegelijk uit te voeren (Ruthruff et al., 2008).

Automatisering heeft duidelijke voordelen, maar brengt ook een uitdaging met zich mee. Zodra een vaardigheid sterk is ingeslepen, kan het lastig zijn om die bewust te onderdrukken of aan te passen. Dit wordt wel het tweesnijdend zwaard van herhaling genoemd (Campbell, 1995; Crooks & McNeil, 2009; McNeil, 2014). 

"Mentale oefening legt een robuust geheugenfundament dat geen rekenmachine kan vervangen."

Van impliciet naar expliciet begrip

Naast het oefenen tot iets automatisch gaat, maken kinderen ook de omgekeerde beweging: ze leren om wat ze doen beter te begrijpen. Door herhaling en ervaring wordt wat eerst vanzelf ging (impliciet begrip), steeds bewuster en begrijpelijker (expliciet begrip). Zo groeit hun inzicht in wat ze eigenlijk aan het doen zijn.

Een kind dat eerst alleen weet hoe het moet optellen, gaat later ook begrijpen wat optellen betekent. Het ziet een som niet meer als losse stappen, maar als één geheel dat het kan beschrijven, vergelijken en gebruiken. Dat vermogen om van handeling naar begrip te gaan, vormt een belangrijk onderdeel van wiskundige ontwikkeling.

We keren terug naar het voorbeeld van 3 + 4. In eerste instantie begrijpt een kind deze som als een fysieke handeling: drie voorwerpen samenvoegen met vier om zeven te krijgen. Het kind voert de handeling bewust uit, maar het begrip van wat “zeven” of “optellen” betekent is nog impliciet. Na verloop van tijd ontwikkelt zich een abstracter inzicht: het kind gaat inzien dat 3 + 4 slechts één van de vele manieren is om zeven te vormen. Dat duidt op gegeneraliseerd, expliciet begrip.

Op dat moment kan het proces van optellen zelf worden gezien als een object waarover nagedacht kan worden, zonder dat het nog uitgevoerd hoeft te worden. De oorspronkelijke kennis is dan opnieuw geïnterpreteerd en wordt begrepen in een meer abstracte vorm. Het kind kan nu 3 + 4 als object manipuleren, inclusief de bewerking en de uitkomst (Sfard, 1991; vgl. Gray & Tall, 1994).

"Wat eerst automatisch leek, kan pas echt begrepen worden als het opnieuw wordt doordacht."

Deze cognitieve verschuiving is cruciaal in de ontwikkeling omdat ze kinderen in staat stelt om procedurele ideeën te comprimeren tot compacte gehelen (chunks) die makkelijker te manipuleren zijn. Daardoor wordt hun begrip breder en dieper (Sfard & Linchevski, 1994). Het kind kan nu 3 + 4 en 7, en hun onderlinge relaties, analyseren, herstructureren en combineren (bijvoorbeeld 4 + 4 – 1, 3 + 3 + 1, 5 + 2 of 8 – 1) en zo zijn wiskundig denken verder verdiepen (vgl. Arnon et al., 2014; Goodson-Espy, 1998; Kaput, 1989; Prather & Alibali, 2009).

Een vergelijkbare ontwikkeling zien we bij vermenigvuldiging. Een som als 5 × 6 wordt in eerste instantie begrepen als vijf objecten in zes groepjes tellen, daarna als “vijf herhalen, zes keer” (tellen in sprongen) en uiteindelijk als 5 × 5 + 5 (vgl. Hackenberg & Tillema, 2009).

De verschuiving van impliciet naar expliciet begrip is ook zichtbaar bij het ontdekken van strategieën. Kinderen herkennen patronen in hun dagelijkse ervaringen en gebruiken die om voorspellingen te doen (Saffran & Kirkham, 2018). Zo bouwen ze impliciete kennis van getallen en relaties op. Vaak passen ze al effectieve strategieën toe voordat ze zich daarvan bewust zijn of ze kunnen benoemen (Alibali & Goldin-Meadow, 1993; Haverty, 1999; Siegler & Stern, 1998).

Bijvoorbeeld: oefenen met de cognitief veeleisende count-all-strategie (alles optellen vanaf 1) leidt ertoe dat kinderen efficiëntere strategieën ontwikkelen, zoals counting on (beginnen bij het grootste getal). Die laatste strategie wordt soms al gebruikt vóórdat het kind expliciet begrijpt dat optellen commutatief (verwisselbaar) is (Baroody & Gannon, 1984). Een kind begint dan bijvoorbeeld bij 34 en telt er 6 bij op en niet andersom.

"Kinderen gebruiken soms al strategieën die ze nog niet kunnen uitleggen."

Van expliciet naar impliciet begrip

Case (1985) liet zien dat de ontwikkeling van impliciet naar expliciet begrip vaak samengaat met de omgekeerde richting: van expliciet naar impliciet. Dat betekent dat automatisering en het ontdekken van nieuwe strategieën elkaar versterken. Nieuwe inzichten ontstaan namelijk gemakkelijker binnen leerinhouden die al vertrouwd zijn. Voor rekenvaardigheid is dit van groot belang. Het laat zien dat oefenen en automatiseren niet alleen leiden tot snelheid en nauwkeurigheid, maar ook tot het vermogen om nieuwe, geavanceerde strategieën te ontwikkelen.

Met andere woorden: vloeiend rekenen is geen eindpunt, maar een springplank naar wiskundig denken op een hoger niveau. De twee ontwikkelingsprocessen (van expliciet naar impliciet (automatisering) en van impliciet naar expliciet (abstractie en begrip), zie Figuur 1) vormen samen de basis voor rekenkundige en bredere cognitieve groei. Deze processen keren in de volgende delen van deze reeks terug als verklarend kader voor waarom bepaalde instructiemethoden beter werken dan andere.

"Vloeiend rekenen is geen eindpunt, maar een springplank naar wiskundig denken op hoger niveau."

Wij-leren heeft dit artikel gevisualiseerd in Figuur 2. 

Figuur 2. De cognitieve basis van rekenvaardigheid.

Wil je deze infographic gratis downloaden in hoge resolutie? Schrijf je dan in voor het kennisdossier 'rekenen' van de Wij-leren Academie. 

Tot slot

Rekenvaardigheid ontstaat in de voortdurende wisselwerking tussen oefenen en begrijpen. Kinderen leren niet alleen sneller en accurater rekenen, maar ontwikkelen ook inzicht in de onderliggende structuren van getallen en bewerkingen. Door de balans tussen automatisering en begrip groeit hun vermogen om flexibel te denken en nieuwe strategieën te ontdekken.

In het volgende artikel staat de vraag centraal waarom rekenvaardigheid zo belangrijk is. We verkennen de wetenschappelijke onderbouwing van het verband tussen vloeiend rekenen en latere leerprestaties, probleemoplossend vermogen en wiskundig redeneren. Daarmee wordt duidelijk waarom investeren in rekenvaardigheid loont. Niet alleen voor het goed kunnen uitvoeren van sommen, maar als fundament voor verder leren en denken.

Referenties

• Alibali, M. W., & Goldin-Meadow, S. (1993). Gesture-speech mismatch and mechanisms of learning: What the hands reveal about a child’s state of mind. Cognitive Psychology, 25(4), 468–523.

• Altmann, E. M., & Gray, W. D. (2002). Forgetting to remember: The functional relationship of decay and interference. Psychological Science, 13(1), 27–33.

• Anderson, J. R. (1992). Automaticity and the ACT theory. The American Journal of Psychology, 105(2), 165–180.

• Anderson, J. R. (1996). ACT: A simple theory of complex cognition. American Psychologist, 51(4), 355–365.

• Anderson, J. R. (2002). Spanning seven orders of magnitude: A challenge for cognitive modeling. Cognitive Science, 26(1), 85–112.

• Ashcraft, M. H. (1982). The development of mental arithmetic: A chronometric approach. Developmental Review, 2(3), 213–236.

• Ashcraft, M. H. (1992). Cognitive arithmetic: A review of data and theory. Cognition, 44(1–2), 75–106.

• Ashcraft, M. H. (1995). Cognitive psychology and simple arithmetic: A review and summary of new directions. Mathematical Cognition, 1(1), 3–34.

• Baddeley, A. D. (1983). Working memory. Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences, 302, 311–324.

• Baddeley, A. D. (2003). Working memory and language: An overview. Journal of Communication Disorders, 36(3), 189–208.

• Bahrick, H. P., Bahrick, L. E., Bahrick, A. S., & Bahrick, P. E. (1993). Maintenance of foreign language vocabulary and the spacing effect. Psychological Science, 4(5), 316–321.

• Baroody, A. J. (1987). Children’s mathematical thinking: A developmental framework for preschool, primary, and special education teachers. Teachers College Press.

• Baroody, A. J. (1994). An evaluation of evidence supporting fact-retrieval models. Learning and Individual Differences, 6(1), 1–36.

• Baroody, A. J., & Gannon, K. E. (1984). The development of the commutativity principle and economical addition strategies. Cognition and Instruction, 1(3), 321–339.

• Braem, S., & Egner, T. (2018). Getting a grip on cognitive flexibility. Current Directions in Psychological Science, 27(6), 470–476.

• Campbell, J. I. D. (1995). Mechanisms of simple addition and multiplication: A modified network-interference theory and simulation. Mathematical Cognition, 1(2), 121–164.

• Carpenter, T. P., & Moser, J. M. (1984). The acquisition of addition and subtraction concepts in grades one through three. Journal for Research in Mathematics Education, 15(3), 179–202.

• Chase, W. G., & Simon, H. A. (1973). Perception in chess. Cognitive Psychology, 4(1), 55–61.

• Chi, M. T. H. (1976). Short-term memory limitations in children: Capacity or processing deficits? Memory & Cognition, 4, 559–572.

• Clements, D. H., Sarama, J., Spitler, M. E., Lange, A. A., & Wolfe, C. B. (2011). Mathematics learned by young children in an intervention based on learning trajectories: A large-scale cluster randomized trial. Journal for Research in Mathematics Education, 42(2), 127–166.

• Codding, R. S., VanDerHeyden, A., Chehayeb, R. (2024). Using data to intensify math instruction: An evaluation of the instructional hierarchy. Remedial and Special Education, 45(3), 173–188.

• Cohen, N. J., & Squire, L. R. (1980). Preserved learning and retention of pattern-analyzing skill in amnesia: Dissociation of knowing how and knowing that. Science, 210(4466), 207–210.

• Collins, A. M., & Loftus, E. F. (1975). A spreading-activation theory of semantic processing. Psychological Review, 82(6), 407–428.

• Cowan, N. (2001). The magical number 4 in short-term memory: A reconsideration of mental storage capacity. Behavioral and Brain Sciences, 24(1), 87–114.

• Cowan, N. (2008). What are the differences between long-term, short-term, and working memory? Progress in Brain Research, 169, 323–338.

• Crooks, N. M., & McNeil, N. M. (2009). Increased practice with “set” problems hinders performance on the water jar task. Proceedings of the Annual Meeting of the Cognitive Science Society, 31(31), 643–648.

• Darling-Hammond, L., Schachner, A. C. W., Wojcikiewicz, S. K., & Flook, L. (2024). Educating teachers to enact the science of learning and development. Applied Developmental Science, 28(1), 1–21.

• Deans for Impact. (2015). The science of learning.

• Dehaene, S., & Cohen, L. (1995). Towards an anatomical and functional model of number processing. Mathematical Cognition, 1, 83–120.

• DeStefano, D., & LeFevre, J. (2004). The role of working memory in mental arithmetic. European Journal of Cognitive Psychology, 16(3), 353–366.

• De Visscher, A., & Noël, M.-P. (2014). The detrimental effect of interference in multiplication facts storing: Typical development and individual differences. Journal of Experimental Psychology: General, 143(6), 2380–2400.

• Dienes, Z., & Perner, J. (1999). A theory of implicit and explicit knowledge. Behavioral and Brain Sciences, 22(5), 735–808.

• Didino, D., Knops, A., Vespignani, F., & Kornpetpanee, S. (2015). Asymmetric activation spreading in the multiplication associative network due to asymmetric overlap between numerosities semantic representations? Cognition, 141, 1–8.

• Dowker, A., & Sigley, G. (2010). Targeted interventions for children with arithmetical difficulties. British Journal of Educational Psychology Monograph Series, 11, 65–81.

• Duncan, G. J., Dowsett, C. J., Claessens, A., Magnuson, K., Huston, A. C., Klebanov, P., Pagani, L. S., Feinstein, L., Engel, M., Brooks-Gunn, J., Sexton, H., Duckworth, K., & Japel, C. (2007). School readiness and later achievement. Developmental Psychology, 43(6), 1428–1446.

Dit is het eerste deel van de referentielijst. Niet alle referenties van dit artikel zijn hierin opgenomen. Voor de volledige referentielijst, klik hier.